3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка

3.1.1. Понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения. Введение

Если дифференциальное уравнение

F(x, y, y ',..., y⁽ⁿ⁾) = 0

содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.

Такое уравнение в нормальной форме имеет вид

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ', ..., y^{(n −1)}).

Пусть D область определения функции f (x, y, y ', ..., y^{(n −1)}), D из R^{n + 1} . Функция y = y(x) называется решением уравнения n-го порядка на отрезке [a; b] , если:

− при всех x ∈ [a; b] точка (x, y(x), y '(x) ,..., y^{(n −1)}) принадлежит области D;

− y = y(x) дифференцируема n раз на [a; b] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество

y⁽ⁿ⁾(x) ≡ f (x, y(x), y '(x), ..., y^{(n −1)} (x) ).

График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.

Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n-го порядка таких условий должно быть n.

Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ', ..., y^{(n −1)})

называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям

y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁₀, ..., y^{(n - 1)} (x₀) = y_{(n -1)0} .

Здесь (x₀, y₀, y₁₀, ..., y_{(n - 1)0}) фиксированная точка области D.

Любое фиксированное решение y = φ(x) – решение некоторой задачи Коши – называется частным решением уравнения.

Общим решением уравнения n-го порядка называется функция y = φ(x,C₁,..., C_n) , зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим требованиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = φ(x,C₁,..., C_n) является решением уравнения на [a;b];

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y₁₀, ..., y_{(n - 1)0}) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C₁^*,..., C_n^* такие, что функция y = φ(x,C₁^*,..., C_n^*) удовлетворяет начальным условиям

φ(x₀,C₁^*,..., C_n^*) = y₀ ,

φ '(x₀,C₁^*,..., C_n^*) = y₁₀,

...,

φ^{(n - 1)}(x₀,C₁^*,... , C_n^*) = y_{(n - 1)0} .

Равенство Φ(x,C₁,..., C_n) = 0 называется общим интегралом уравнения n-го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения.

Если в результате каких-либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y⁽ⁿ⁾) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, т.е. уравнения вида

Заменой z(x) = y^(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n-k)-го порядка:

Если z = z(x,C₁,...,C_n-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка – уравнение вида y⁽ⁿ⁾ = f (x), его общее решение имеет вид

Пример №1

Решим уравнение 5-го порядка

Выполнив в уравнении замену y⁽⁴⁾ = z, получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Это уравнение легко интегрируется:

Проинтегрировав 4 раза выражение для z, получим общее решение исходного уравнения 5-го порядка:

Поскольку C₁, C₂ и C₃ произвольные постоянные, можно переписать общее решение уравнения в виде: