4.4.4.4. Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта – наиболее известный и широко используемый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера можно рассматривать в качестве представителей метода Рунге-Кутта или как упрощенные его варианты.

Согласно методу Рунге-Кутта, приближенные значения искомого решения определяются по формулам:

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Значение приближенного решения дифференциального уравнения (4.6) определяется в усредненном по формуле (4.15) направлении, составляющими которого являются четыре направления, определяемые углами для которых

что значительно повышает точность метода Рунге-Кутта.

Для сравнения: в методе Эйлера вычисляется в направлении, определяемом углом , для которого (рис.4.1); в модифицированном методе Эйлера вычисляется в уже подправленном с помощью средней точки текущего отрезка направлении, определяемом углом , для которого (рис.4.2).

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности на всем отрезке . Эффективная оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного просчета по формуле

где – значение точного решения уравнения (1) в точке а , – приближенные значения, полученные с шагом и .

Для определения правильности выбора шага h на практике применяют двойной просчет с шагом шагом . Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг для следующей точки удваивается, в противном случае берут половинный шаг.

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, очень широко используется при численных решениях дифференциальных уравнений на ЭВМ. Важным преимуществом этого метода является возможность на любом этапе вычисления изменить шаг интегрирования, при условии заданной точности.

Распространим метод Рунге-Кутта на нормальную систему дифференциальных уравнений (4.3). Рассмотрим схему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

с начальным условием

Приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:

(4.17)

где

Пример 1. Численно решить дифференциальное уравнение

на отрезке с шагом методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и сравнить значения точного и приближенных решений в точке . Найти абсолютную и относительную погрешности в этой точке для каждого метода. Вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Решение: Шагом интегрирования отрезок разбивается на пять равных частей точками

1. Решение уравнения методом Эйлера:

Приближенные значения решения исходного уравнения в точках вычислим по формуле (4.8), в которой Результаты вычисления будем заносить в таблицу. Заполняется она следующим образом.

В первой строчке при записываются начальные значения и по ним вычисляется

а затем Тогда по формуле (4.8) при находим

Во второй строчке при записываем значения Используя эти значения, вычислим затем И по формуле (4.8) при получаем При вычисления ведутся аналогично.

Таблица 1

i			Вычисления
0	0,0	1,0000	0	1,0000	0,2000
1	0,2	1,2000	0,3333	0,8667	0,1733
2	0,4	1,3733	0,5928	0,7805	0,1561
3	0,6	1,5294	0,7846	0,7458	0,1492
4	0,8	1,6786	0,9532	0,7254	0,1451
5	1,0	1,8237