- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
Вектор– этонаправленныйотрезок.
Длина(модуль) вектора в декартовой системе координат определяется так:, где (x1, y1, z1) координаты точки начала вектора, а (x2, y2, z2) - точки конца вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы, лежащие в параллельных плоскостях, называюткомпланарными. Для равенства векторов недостаточно равенствамодулейвекторов, требуется еще и совпадениенаправленийвекторов.
Вектор единичной длиныназываетсяортомпо соответствующему направлению. При линейных операциях с векторами (сложение, вычитание, умножение на число) соответствующие операции производятся с их координатами (при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на число – умножаются нам это число).
Скалярным произведениемдвух векторовназываютчисло, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:(рис. 1). Скалярное произведениекоммутативно. Для перпендикулярных векторов (=90).
В декартовой системе скалярное произведение удобно вычислять через координаты векторов:
. (1)
Физический (механический) смысл скалярного произведения – работа силыпо перемещению материальной точки на вектор.
Векторным произведениемдвух векторов(рис. 2) называютвектор , равный по модулю произведению модулей векторов на синус угла между ними:, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежати, по правилуправой тройки. Согласно этому правилу, если посмотреть со стороныконца вектора, поворот от первого вектора в векторном произведении () ко второму () должен происходитьпротив часовой стрелки (рис. 2).
Векторное произведение антикоммутативно.
Для коллинеарных векторов (=0).
В декартовой системе векторное
произведение удобно вычислять через
координаты векторов:
. (2)
Геометрически модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и.
Физический (механический) смысл векторного произведения – момент силыв точке конца относительно точки начала вектора.
Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов –число, равноеобъему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
. (3)
Двойное векторноепроизведение:
. (4)
Ответк заданию раздела2.4(2.15):
или
или
[14].
Приложение 2. Криволинейные системы координат
Кромедекартовой системы (ДСК) на практике также применяюткриволинейныесистемы координат. В теории ЭМП часто используютцилиндрическуюисферическую системы координат (рис. 3), которые, как и ДСК, также являютсяортогональными.
Цилиндрическая система координат (ЦСК) (r – радиус окружности в плоскостиx0y, – азимут,h – высота относительно плоскостиx0y) удобна при анализе ЭМП в круглом волноводе, световоде и т. п.
Замена переменных с ДСК проводится так:
;;
;; . (5)
Связь между ортамиДСК и ЦСК:
;;
;;
. (6)
Сферическая система координат (ССК) ( – радиус сферы, – азимут, – угол места относительно осиz) удобна при анализе ЭМП изотропного источника и т. п. Замена переменных с ДСК проводится так:
; ;
;;
; . (7)
Связь между ортамиДСК и ССК:
;;
;;
;. (8)
Связь между координатами ССК и ЦСК:
;;
;.()(9)
Связь между ортамиССК и ЦСК:
; ;
; . ()(10)
На плоскости (при h=0 ЦСК,=90ССК) частным случаем обеих криволинейных систем являетсяполярная система координат(,).
Как видно из (3)-(8) и рис. 3 координаты ЦСК и СКК не равноправны в отличие от координат ДСК. Это приводит к тому, что при интегрировании и дифференцировании необходимо вводить корректирующие множители.
При замене переменных в определенном интеграле кроме перерасчета пределов интегрирования необходимо еще умножить подынтегральную функцию на якобиан(множитель искажений). Для тройного интеграла получаются следующие значения якобиана:r– для ЦСК и2sin– для ССК.
. (ЦСК) (11)
. (ССК) (12)
Формулы для дифференцирования по координатам можно найти в [14].