- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
В отличие от электростатического поля стационарное электрическое поле существует не только в диэлектрике, но и в проводнике при наличии постоянного тока проводимости. Уравнения стационарного электрического поля похожи на уравнения электростатического поля (=const):
,;. (12.16)
Потенциал стационарного поля определяется уравнением Пуассона (11.11).
Объемная плотность заряда выражается формулой:
. (12.17)
Из (12.16) следует, что объемные электрические заряды могут существовать только в тех областях проводящей среды, где отсутствуют сторонние токи.
На границе раздела двух проводящих сред линии тока преломляются в соответствии с граничным условием (4.3) [2] :
; . (12.18)
Если проводимости сред различаются сильно (2>>1), то в слабо проводящей среде проходит практически по нормали, независимо от расположения вектора плотности тока в среде с большей проводимостью. В таком случае поверхность металлических тел, находящихся в диэлектрике, можно считать эквипотенциальной (=const).
В некоторых случаях для стационарного электрического поля в области свободной от сторонних зарядов и токов применим метод электростатической аналогии, который позволяет свести задачу стационарного электрического поля к задачам электростатики. В этом случае граничные условия для составляющих вектора плотности тока аналогичны граничным условиям для вектора электрической индукции. Переход к уравнениям электростатики для систем с одинаковыми геометрическими размерами осуществляется с помощью следующей замены переменных [11] :
;;;. (12.19)
Метод электростатической аналогии используется при анализе ЭМП линий передачи с Т-волной (коаксиальная линия и т. п.). С другой стороны электростатическая аналогия позволяет экспериментально исследовать сложные электростатические поля с помощью их моделирования в ванне со слабо проводящей жидкостью (электролитом) [2, 11].
Уравнения стационарного магнитного полязаписываются в виде:
;. (12.20)
В (12.20) уже заметна связь между электрическим и магнитным полями.
Наиболее распространенной задачей является определение стационарного магнитного поля по заданному распределению токов. Для изотропной линейной однородной среды анализ ЭМП удобно проводить с помощью .
Для векторного потенциала стационарного магнитого поля условие калибровки (11.6) и волновое уравнение (11.7) записываются в виде:
,. (12.21)
Решение (12.21) относительно A(r) соответствует решению волнового уравнения Гельмгольца при k=0 :
. (12.22)
В простых случаях при наличии симметрии поля более удобным может оказаться прямой расчет по (3.4).
Например, магнитное поле круглого провода с током и коаксиальной линии в силу цилиндрической симметрии удобно находить именно по (3.4).
Контур интегрирования удобно совмещать с векторными линиями .
Для круглого провода радиусаа с электрическим током I:
. (12.23)
График распределения магнитного поля в проводнике H(r)приведен на рис. 12.3.
Для коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) :
. (12.24)
График распределения магнитного поля в коаксиальной линии приведен на рис. 12.4. Вывод данных формул, а также другие примеры стационарных магнитных полей можно найти в [2-5, 11].
Энергия стационарного магнитного поля:
. (12.25)
Сравнивая с (12.6) можно заметить определенное сходство уравнений стационарного магнитного поля с уравнениями электростатики.
Полную энергию стационарного магнитного поля системы из n контуров с токами удобно выражать через токи и индуктивности (см. пояснение к (9.18)):
, (12.26)
где – потокосцеплениеk-го контура, – собственная индуктивность k-го контура, – взаимная индуктивность j-го и k-го контуров [2].
Первое слагаемое (12.26) представляет сумму собственных энергий магнитных полей контуров, а второе слагаемое (12.26) – взаимную энергию магнитных полей создаваемых токами в данных контурах.
С помощью анализа запаса магнитной энергии в системе можно вычислять индуктивность проводников и линий передачи Т-волны.
Магнитный поток, проходящий через поперечное сечение линии передачи удобно разложить на внутренний и внешний. Внутренний поток, проходящий внутри проводников, связан с собственными индуктивностями проводников.
Внешний магнитный поток определяется линиями во внешней по отношению к проводникам среде [5] и связан с взаимной индуктивностью.
Например, погонная индуктивность коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) при постоянном токе определяется формулой (1 – диэлектрика, а 2 – проводников) [4, 11]:
. (12.27)
Первое слагаемое (12.27) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности. Обычно в справочниках приводится формула (12.28), соответствующая току высокой частоты:
. (12.28)
следует помнить о том, что в данной формуле a– это абсолютная магнитная проницаемостьдиэлектрика.
Аналогичным образом вычисляется индуктивность двухпроводной линии передачи (рис. 12.1) (1 – диэлектрика, а 2 – проводников) [5] :
. (12.29)
Первое слагаемое (12.29) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности двух цилиндрических проводников. Обычно в справочниках приводится формула (12.30), соответствующая переменному току высокой частоты [4, 5, 11] :
. (12.30)
При анализе многосвязных линий передачи Т-волны (количество проводников в данных линиях больше двух) и соединений с их использованием составляют матрицы взаимных емкостей и индуктивностей проводников линии на основании (12.6) и (12.26).
Квазистационарным ЭМП в области V называют ЭМП, для которого можно пренебречь волновым характером. Для квазистационарного поля время, в течение которого источники поля успевают заметно измениться, велико по сравнению со временем запаздывания волнового фронта (l/v). (l – расстояние в области V, которое со скоростью v проходит распространяющаяся ЭМВ.)
Время запаздывания – это время, необходимое для распространения ЭМ возмущения от одного конца системы до другого [2].
Для квазистационарного ЭМП справедливы следующие соотношения:
,. (12.31)
В случае монохроматических колебаний плоская волна превращается в колебание во времени : cos [(t-l/v)] = cos (t), откуда следует еще одно условие квазистационарности поля: l/v<<1 l<<.
Таким образом, при монохроматических процессах ЭМ системы можно исследовать с помощью законов квазистационарного ЭМП в тех случаях, когда их протяженность много меньше длины волны [2].
Быстропеременное ЭМП описывается системой уравнений Максвелла без каких-либо упрощений, характеризуется глубокой взаимосвязью между электрическими и магнитными явлениями и имеет волновой характер.