- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
4. Граничные условия для векторов эмп
Поскольку уравнения Максвелла в дифференциальной форме нельзя применятьна границе раздела сред, где векторы ЭМП претерпеваютразрыв, необходимо найтиграничные условиядля векторов ЭМП с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.
Исследуемые векторы удобно разлагать на нормальныеитангециальныесоставляющие (рис. 4.1).
4.1. Нормальные составляющие
При выводе формул для нормальных составляющих векторов электрического полятретье уравнение Максвелла в интегральной форме (3.3) применяется кэлементарному цилиндру, проходящему через границу раздела сред (рис. 4.2). Будем считать, чтограница разделаможет бытьзаряженас поверхностной плотностью зарядаS (1.2). В этом случае заряд, сосредоточенный внутри цилиндра,Q=S S.
.
Поток через поверхность цилиндра состоит из потоков через основания цилиндров в первой () и второй () средах и потока через боковую поверхность. Поскольку цилиндр элементарный, то приh0поток через боковую поверхность также стремится к нулю, что дает в итоге:.
. (4.1)
Нормальная составляющая вектора на границе раздела средпретерпевает скачок, равный плотности поверхностного заряда.
При отсутствии поверхностного заряда (S=0)нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе раздела среднепрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности ()претерпевает скачок, равный обратному отношению диэлектрических проницаемостей сред:
;. (4.2)
Если обе среды обладают электропроводностью, то необходимо связать между собой и нормальные составляющие векторов плотностей тока (1.7). Применяя закон сохранения заряда в интегральной форме к тому же элементарному цилиндру (рис. 4.2) при стягивании его в точку, получим [5]:
. (4.3)
Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного полявыводятся применением четвертого уравнения Максвелла в интегральной форме (3.4) к элементарному цилиндру (рис. 4.2).
Аналогично выводу (4.1) при h0потокчерез боковую поверхность стремится к нулю, и потокчерез поверхность цилиндра будет равен сумме потоков через основания цилиндров в первой () и второй () средах:, откуда следует:
;. (4.4)
Таким образом, нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела среднепрерывна, а нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля ()претерпевает скачок, равный обратному отношению магнитных проницаемостей сред.
4.2. Тангециальные составляющие
При выводе формул для тангециальных (касательных) составляющих векторов электрического полявторое уравнение Максвелла в интегральной форме (3.2) применяется к элементарному прямоугольному контуруabcd, проходящему перпендикулярно через границу раздела сред (рис. 4.3):
. (4.5)
При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляцияhи правая часть (4.5) стремятся к нулю. В результате получаем:
,;. (4.6)
Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности электрического поля на границе раздела среднепрерывна, атангециальная составляющая вектораэлектрической индукциипретерпевает скачок, равный отношению диэлектрических проницаемостей сред.
При выводе формул для тангециальных составляющих векторов магнитного поляпервое уравнение Максвелла в интегральной форме (3.1) применяется к элементарному прямоугольному контуруabcd(рис. 4.3):
. (4.7)
При стягивании контура к границе раздела (h0) циркуляцияhи правая часть (4.7) стремятся к нулю. В результате получаем:
,;. (4.8)
Таким образом, тангециальная составляющая вектора напряженности магнитного поляна границе раздела среднепрерывна, атангециальнаясоставляющая векторамагнитной индукциипретерпевает скачок, равный отношению магнитных проницаемостей сред.
На границе идеального проводника () возможно существованиеповерхностного тока проводимости(Iпов). (Как будет показано в разделе 9,ЭМП высоких частот в металлическом проводникедействительно концентрируется в очень тонком поверхностном слое –скин-слое.)
В этом случае правая часть (4.7) при h0стремится не к нулю, а к, поскольку ток проводимости, протекающий черезhприh0, и есть поверхностный ток. В результате получим:
. (4.9)
Таким образом, при наличии поверхностного тока тангециальная составляющаявекторанапряженности магнитного поляпретерпевает скачок, равныйплотности поверхностного тока.
Полученные граничные условия позволяют найти соотношения между углами падения и прохождения при отсутствии поверхностных токов и зарядов.
Для векторов электрического поляиз векторных соотношений (рис. 4.1) и граничных условий (4.2) и (4.6) следует:
. (4.10)
Аналогично для векторов магнитного поляиз (4.4) и (4.8) следует:
. (4.11)
Из (4.10) и (4.11) следует, что если параметры сред отличаются существенно (2>>1 или2>>1), то соответствующий векторво второй средебудет направлен почтипо нормали(на рис. 4.1290)независимо от угла наклонавектора в первой среде. Например, если2/1=100, то2>89при1>30.