- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
Решением однородного одномерного волнового уравнения
(в (6.10)) (7.1)
является функция вида (F1 и F2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции) [16]:
. (7.2)
Каждое из слагаемых (7.2) описывает возмущение, исходящее из точки z0в моментt=0 и к моменту времениtприходящее в точкуz= z0-vtдляF1и в точкуz= z0+vtдляF2со скоростьюv(рис. 7.1)[16].
Решения вида (7.2) для (7.1) получены Ж. Д’Аламбером еще в 1747 г. [1].
Общие решения для более сложных случаев (неоднородные, двух- и трехмерные волновые уравнения) приведены в [16, С. 348-350]. Частные решения, представляющие интерес для теории ЭМП приведены в приложении 4.
Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [11].
Рассмотрим частный случай трехмерного волнового уравнения, решением которого являются сферические волны. Для сферической функции F(r) (F(r) имеет только радиальную составляющую, ) запишем (6.10).
После замены переменных, рассмотренной в приложении 4, получаем одномерное уравнение относительно r [3]:
. (7.3)
Умножив (7.3) на r, мы получим уравнение вида (7.1) относительно функции rF(r): , решение которого известно – (7.2):, откуда следует:
. (7.4)
Первое слагаемое (7.4) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника (рис. 7.2). Второе слагаемое следует отбросить, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, физического смысла не имеет [3].
В отличие от (7.2) амплитуда сферической волны (7.4) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность соответственно как 1/r2). Это связано с тем, что мощность изотропного источника (Pист) равномерно распределяется по расходящимся сферам. С учетом того, что площадь сферы 4r2 получаем :
. (7.5)
Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r2.
На практике ЭМВ обычно применяют для передачи на дальние расстояния.
В этом случае удобно применение идеализации «плоская волна». На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт можно в области приемной антенны аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность можно считать плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости.
Плоская ЭМВ–идеализированнаяволна, имеющаяплоский фазовый фронт(z=const), у которой существуют двевзаимно перпендикулярныесоставляющиеи, зависящиетолькоот координатыz и расположенные в плоскости, перпендикулярнойz (рис. 7.3). ЭМВ называетсяоднородной, если ее амплитудапостоянна во всех точках фазового фронта, инеоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.
Применение идеализации «плоская ЭМВ» позволяет во многих практических случаях свести задачу анализа от трехмерной к одномерной: пространство вокруг источника разбивается на участки, на каждом из которых ЭМВ можно считать плоской, после чего каждый из участков анализируется независимо.
(Одно из частных решений трехмерного волнового уравнения – суперпозиция плоских волн вида (7.2) для каждойдекартовой координаты (Приложение 4).)