- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
12.3. Эмп для весьма высоких частот
При весьма высоких частотах от уравнений Максвелла можно перейти к более простым уравнениям геометрической оптики. Для этого необходимо найти решения системы уравнений Максвелла в виде [18] :
, , (12.32)
где Le – скалярная функция координат, описывающая изменение фазы ЭМП и называемая эйконалом, а и соответствуют ориентации векторов ЭМП для плоской волны. После подстановки (12.32) в (3.16), (3.17) и преобразований, приведенных в [18], для неоднородной среды получаем :
;
. (12.33)
Поскольку при весьма высоких частотах k0 , (12.33) упрощается :
; . (12.34)
Условием разрешимости системы (12.34) является уравнение эйконала :
, (12.35)
где единичный вектор, сонаправленный с вектором.
С учетом (12.35) (12.34) можно записать в виде:
; . (12.36)
Выражение для вектора Пойтинга в приближении геометрической оптики:
. (12.37)
Из полученных результатов следует, что энергия ЭМП распространяется вдоль лучей (), а само ЭМП в приближении геометрической оптики в каждой точке пространства носит характер плоской волны.
Величина в оптике соответствует показателю преломления среды.
Применение законов геометрической оптики позволяет рассматривать распространение ЭМВ весьма высоких частот как распространение светового луча. Некоторые эффекты геометрической оптики (ход лучей в параболоиде или эллипсоиде) находят практическое применение в конструкциях антенн.
Из уравнения эйконала (12.35) можно вывести широко используемый в оптике принцип Ферма: оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии. Для этого достаточно рассмотреть скалярное произведение и вектора элемента линии оптического пути[11, 18].
Условия применимости уравнений геометрической оптики определяются из (12.33) с помощью оценки отбрасываемых членов :
; ; ; . (12.38)
Смысл данных условий состоит в том, что относительные изменения величин на расстоянии, равном длине волны в рассматриваемой среде, должны быть малы по сравнению с 2 [18].
13. Эмв на границе раздела сред
ЭМ явления на границе раздела двух разнородных сред (преломление, отражение и т. п.) играют большую роль в теории ЭМП. Границу раздела будем считать плоской и бесконечно протяженной, что позволяет использовать для анализа приближения геометрической оптики и рассматривать ЭМВ в виде лучей. Полученные результаты справедливы и для криволинейных граничных поверхностей и неплоских ЭМВ, если их радиус кривизны значительно больше .
Расположим координатные оси так, чтобы оси yиzлежали в плоскости границы раздела сред (рис. 13.1), а осьxсовпадала с направлением вектора нормали () для второй среды (2, 2).
13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
Направление распространения падающей ЭМВ определяется ортом .Плоскостью падения (распространения) называют плоскость, проходящую через вектор распространения падающей ЭМВ и нормаль к поверхности раздела сред. На рис. 13.1 плоскость падения совпадает с плоскостью x0z.
Волновой вектор распространения для падающей ЭМВ имеет вид: . Энергия падающей ЭМВ распределяется между ЭМВ, прошедшей во вторую среду (прошедшая ЭМВ имеет волновой вектор ), и ЭМВ, отраженной от границы раздела сред (вектор отраженной ЭМВ – ) .
Рассмотрим явления, возникающие при падении плоской однородной волны на плоскую границу раздела двух произвольных сред (рис. 13.1).
Волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн соответственно равны , ; [11].
При заданном угле падения определим угол отражения (для отраженного луча) и угол преломления (для прошедшего луча).
Векторы напряженностей ЭМП этих трех волн должны удовлетворять граничным условиям во всех точках плоскости границы раздела в любой момент времени. Поэтому независимо от характера граничных условий должны совпадать фазовые множители данных ЭМВ:
. (13.1)
При фиксированном r из (13.1) вытекает равенство частот всех ЭМВ . Проекция , а следовательно, и проекции и на ось у равны нулю. Это означает, что все волновые векторы лежат в плоскости распространения, поэтому их проекции на ось z должны быть равны между собой:
, (13.2)
что позволяет сформулировать законы, открытые еще в XVIIвеке в приближении геометрической оптики В. Снеллиусом и уточненные Р. Декартом[1]:
векторы падающей, отраженной и прошедшей ЭМВ лежат в одной плоскости (плоскости распространения);
угол падения равен углу отражения ();
отношение синусов углов падения и преломления равно отношению комплексных коэффициентов распространения во второй и первой средах (закон преломления В. Снеллиуса):
. (13.3)
Из этого равенства следует, что в общем случае угол преломления может быть комплексным. Если ограничиться анализом диэлектриков с несущественными потерями (), то (13.3) запишется в виде:
, (13.4)
где – коэффициенты преломления сред.
Для диэлектриков синусы углов наклона лучей относительно нормали пропорциональны фазовым скоростям ЭМВ в соответствующих средах и обратно пропорциональны их коэффициентам преломления.