- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
Уравнения Максвелла в комплексной форме (3.16)-(3.17) для составляющих векторов плоской волны в декартовой системе координат имеют вид:
;;;. (7.6)
Из (7.3) следует, что ивзаимно перпендикулярны. (Это можно доказать, рассмотрев скалярное произведение векторов[4].) В дальнейшем мы будем обозначать координаты данных векторови, подчеркивая ихпоперечнуюнаправленность и расположение в плоскостиx0y. Вектор Пойтинга в данном случае имеет толькопродольнуюсоставляющую(рис. 7.3 и 7.4). Знаяили, мы легко можем найти другую поперечную составляющую и (при необходимости) перейти к обычным координатам (,,,).
Поскольку по определению плоской ЭМВ, лапласиан (2=)ипревращается во вторую производную поz(), и однородные волновые уравнения (6.6)-(6.7) запишутся в виде:
, . (7.7)
Решения уравнений (7.7) имеют вид (для – аналогично):
. (7.8)
Первое слагаемое (7.8) прямая волна, второе слагаемое – обратная волна, и– комплексные амплитуды данныхбегущих волн.
Подставляя (7.8) в (7.6) найдем связь и:
. (7.9)
Запишем связь волнового числа () с комплексным коэффициентом распространения () для среды без магнитных потерь :
, (7.10)
Уравнение плоской волны с учетом (7.10) можно записать в виде
. (7.11)
Для мгновенных значений из (7.11) получаем:
. (7.12)
Направление распространения ЭМВ можно определить из анализа зависимости полной фазы (7.12) от времени. Зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени, мы получим, что если, то в следующий момент времени ЭМВ сместится вположительном направлении оси z, а при волновой фронт будет двигаться вотрицательном направлении оси z (рис. 7.5).
7.2. Коэффициенты затухания и фазы
Из анализа (7.11) и (7.12) очевидно, что – это коэффициент затухания, а– коэффициент фазы. Подставляя (7.12) в (6.3),(6.5) или (7.11) в (6.6),(6.7), после решения уравнений относительноиполучаем :
, (7.13)
. (7.14)
Множитель в (7.11) и (7.12) показываетзатухание ЭМВ, при распространении ее вдоль оси z. Чем больше , тем больше затухание ЭМВ.
Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину
. (7.15)
На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ):
. (7.16)
С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество (), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов).
. (7.17)
При прохождении слоя веществаz= амплитуда ЭМП ослабляется в е (е=2,71828…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 7.6) проходит лишь 1/е2 мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2 – 98,2%, а в слое 3 – 99,8%.
Таким образом, зная коэффициент затухания можно определить слой вещества, где преимущественно концентрируется энергия ЭМП.
В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на высоких частотах она составляет доли миллиметра.
Если минимальный размер объекта превышает 3, то следует учитывать неравномерность распределения ЭМП в веществе. Например, если в микроволновую печь положить вещество толщиной много больше 3, то во внутренние слои ЭМП не проникает, и они останутся «сырыми».