§ 6. Гармонические колебания

Общие характеристики гармо­нических колебаний. Колебания груза на пружине, математический ма­ятник, физический маятник. Сложение колебаний. Векторная диаграм­ма. Свободные затухающие колебания. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Резонанс. Автоколебания.

Основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний

,

где - смещение колеблющейся величины от положения равновесия; А- амплитуда колебаний; - круговая (циклическая) частота; - частота; Т- период колебаний; - начальная фаза.

• Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

,

.

 Кинетическая энергия колеблющейся точки массой

.

• Потенциальная энергия

.

• Полная энергия

.

 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой

или ,

где - коэффициент упругости ( ).

• Период колебаний пружинного маятника

.

• Период колебаний физического маятника

,

где - момент инерции маятника относительно оси колебаний; - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; -приведенная длина физического маятника; - ускорение свободного падения.

• Период колебаний математического маятника

,

где - длина маятника.

• Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение:

; ,

где - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс; - коэффициент затухания ( в случае механических колебаний и в случае электромагнитных колебаний); - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; ²- частота затухающих колебаний; - амплитуда затухающих колебаний.

• Декремент затухания

,

где и - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

• Логарифмический декремент затухания

,

где - время релаксации; - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

• Добротность колебательной системы

.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:

; ,

где - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс ( ).

Семестровые задания

6.1. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 310^-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1,510^-3 Н. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний равен 2с и начальная фаза 60⁰.

6.2. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, пол-ная энергия Е = 310^-7Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,2510^-5 Н?

6.3. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с², период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

6.4. Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с, начальная фаза . Написать уравнение этого колебания. Найти смещение колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и при t = 1,5 с.

6.5. Материальная точка массой 10 г колеблется по уравнению x = Asin(t+), где А = 5 см, , . Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки.

6.6. Найти максимальную скорость и максимальное ускорение колеблющейся точки, если ее амплитуда 5 см, а период 4 с.

6.7. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом

R = 50 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

6.8. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение х₀ = 4 см, а скорость = 10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу ₀ колебаний, если их период Т=2с.

6.9. Определить частоту n простых гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

6.10. Определить потенциальную энергию П математического маятника с массой m = 20 г в положении, соответствующем углу отклонения нити от вертикали  = 10⁰, если частота колебаний маятника n = 0,5 с^-1. Потенциальную энергию маятника в положении равновесия считать равной нулю.