§ 28. Корпускулярно—волновой дуализм

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Соотношение неопределенностей. Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. Амплитуда вероятностей.

Основные формулы

• Связь дебройлевской длины волны частицы с импульсом р

• Фазовая скорость свободно движущейся со скоростью частицы массой

где энергия частицы ( круговая частота); импульс волновое число).

• Групповая скорость свободно движущейся частицы

• Соотношение неопределенностей для координаты и импульса:

где неопределенности координат; неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат.

Для энергии и времени

где неопределенность энергии данного квантового состояния; время пребывания системы в данном состоянии.

• Вероятность нахождения частицы в объеме

где волновая функция, описывающая состояние частицы; функция, комплексно сопряженная с ; квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности нахождения частицы вблизи точки с координатой х.

Семестровые задания

28.1. Протон обладает кинетической энергией Т = 1кэВ. Определить дополни-тельную энергию , кото­рую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.

28.2. Определить длины волн де Бройля частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

28.3. Электрон обладает кинетической энергией Т =1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое?

28.4. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоен­ному значению его энергии покоя. Вычислить длину волны  де Бройля для такого электрона.

28.5. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов 100 В.

28.6. Используя соотношение неопределенностей, оце­нить ширину одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона = =10 эВ.

28.7. Альфа-частица находится в бесконечно глубо­ком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ши­рину ящика, если известно, что минимальная энергия -частицы = 8 МэВ.

28.8. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью мм.

28.9. Определить относительную неопределенность импульса движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.

28.10. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром d=0,3 нм, определить неопределенность энергии данного электрона.

§ 29. Уравнение Шредингера.

Временное уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Частица в одномерной прямо­угольной потенциальной яме. Прохождение частицы через потенци­альный барьер.

Основные формулы

• Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера

конечной ширины

где множитель, который можно приравнять к единице; высота потенциального барьера; энергия частицы.

• Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где - волновая функция, описывающая состояние частицы; - масса частицы; Е- полная энергия; - потенциальная энергия частицы.

• Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии), где – ширина потенциального ящика, = 1,2,3…

Семестровые задания.

29.1. Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия,

 = - кх (где к – коэффициент пропорциональности, х - смещение).

29.2. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид . Найти решение уравнения.

29.3.Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси Х со скоростью . Найти решение этого уравнения.

29.4. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной . Написать уравнение Шредингера и его решение ( в тригонометрической форме).

29.5.Электрону в потенциальном ящике шириной отвечает волновое число к= = ( n = 1,2,3,…). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом к, получить выражения для собственных значений Е_n.

29.6. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней к энергии частицы Е_n при n  .

29.7. Электрон находится в потенциальном ящике шириной = 0,5 нм. Опередить наименьшую разность  энергетических уровней электрона.

29.8. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной . Определить среднее значение координаты  х  электрона (0  х  ).

29.9. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с бесконечными высокими стенками. Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети ямы, если электрон находится в возбужденном состоянии (n=2).

29.10. В прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < ) на­ходится частица в основном состоянии. Найти вероят­ность местонахождения этой частицы в области