§ 2. Динамика материальной точки и твердого тела

Законы Ньютона. Масса. Сила. Виды сил в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Силы упругости. Закон Гука. Силы трения. Инерциальные системы отсчета. Механический принцип относительности. Преобразования Галилея. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Понятие абсолютно твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Момент силы и момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера.

Основные формулы

• Импульс (количество движения) материальной точки

.

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки). .

 Сила трения скольжения ,

где - коэффициент трения скольжения; - сила нормального давления.

• Сила упругости

,

где – деформация; - коэффициент упругости.

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела

,

где - масса точки; - расстояние от нее до оси вращения.

• Напряжение при упругой деформации

,

где - растягивающая (сжимающая) сила; - площадь поперечного сечения.

• Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

,

где - модуль Юнга, - относительное удлинение (сжатие).

• Закон всемирного тяготения

,

где - сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами и ; - расстояние между точками ; - гравитационная постоянная.

• Сила тяжести

,

где - масса тела; - ускорение свободного падения.

• Напряженность поля тяготения

,

где - сила тяготения, действующая на материальную точку массой , помещенную в данную точку поля.

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и , находящихся на расстоянии друг от друга

.

• Потенциал поля тяготения

,

где П- потенциальная энергия материальной точки массой , помещенной в данную точку поля.

• Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью

или ,

где - единичные векторы координатных осей.

• Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения

,

где m – масса точки; r- расстояние от нее до оси вращения.

• Момент инерции системы (тела) относительно некоторой оси вращения

,

где расстояние материальной точки массой до оси вращения. В случае равномерного распределения масс .

• Теорема Штейнера

,

где - момент инерции тела относительно произвольной оси; - момент инерции относительно оси, параллельной данной и, проходящей через центр масс тела; - масса тела; -расстояние между осями.

 Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси ; - угловая скорость тела.

• Момент силы относительно неподвижной точки

,

где -радиус- вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы . Модуль момента силы

,

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

• Работа при вращении тела

,

где - угол поворота тела; - момент силы относительно оси .

Семестровые задания

2.1. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 100г и m₂ = 120г. Найти ускорение, с которым движутся грузики, если масса блока равна 400 г? Трением в блоке пренебречь.

2.2. На барабан массой m₁ = 9 кг намотан шнур, к концам которого привязан груз массой m₁ = 2 кг. Определить ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

2.3. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концам которого привязан груз массой m = 9,8 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с².

2.4. Тонкий однородный стержень длиной = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением  = 3 рад/с² около оси, проходящей перпен-дикулярно стерж­ню через его середину. Определить вращающий момент М.

2.5.Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы Т₁ и Т₂ на­тяжения шнурa по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по обо­ду.

2.6. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравне­ние вращения шара имеет вид =A+Bt²+Ct³, где В = 4 рад/с², С = I рад/с³. Найти закон измене­ния момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени t = 2 с.

2.7. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению  = At+Bt³, где А = 2рад/с, В = 0,2 рад/с³. Определить вращающий мо­мент М, действующий на стержень через время t = 2с после начала враще-ния, если момент инерции стержня = 0,048 кгм² .

2.8. Вал маccой m = 100 кг и радиусом R = 5 cм вращал­ся с частотой n = 8 с^-1 . К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40Н, под действием которой вал остановился через t = 10 с. Определить коэффициент трения f.

2.9. На обод маховика диаметром D = 60 cм намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Опреде­лить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжеcти груза, за вре­мя t = 3c приобрел угловую скорость  = 9 рад/с.

2.10. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12с^-1, чтобы он остановился в течение времени t=8c. Диаметр блока D = 30 cм. Массу блока m = 6кг считать равно­мерно распределенной по ободу.

2.11. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной = l,2 м, вращается с частотой n₁ = 2с^-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния = 0,6 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

2.12. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой т = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение  и час­тоту вращения n маховика через время t = 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

2.13. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 см приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Н∙м. Определить массу диска, если его угловое ускорение = 12 рад/с².

2.14. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг. Найти ускорение грузов. Трением в оси блока пренебречь.

2.15. На вал массой m₁ = 20 кг намотана нить, к концу которой привязали груз массой m₂ = 1 кг. Определить ускорение груза, опускающегося под действием силы тяжести. Трением пренебречь.

2.16. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м.

2.17. Определить скорость поступательного движения сплошного цилиндра, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 20 см.

2.18. Вычислить момент инерции тонкого обода радиусом r = 30 см и массой 5 кг относительно оси, проходящей через конец диаметра перпендикулярно к плоскости обода.

2.19. Диск радиусом 30 см и массой 1 кг вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно к его плоскости, с частотой n = 20 об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановить диск?

2.20. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом 0,3 м находится в покое. Какую работу нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = =10с^-1?