§ 3. Законы сохранения

Законы сохранения как следствие симметрии пространства и времени. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения. Закон сохранения импульса как фундаментальный закон природы. Реактивное движение. Уравнение Мещерско­го. Движение в центральном поле. Законы Кеплера. Энергия как универ­сальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутрен­них сил, приложенных к системе. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку. Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения энергии в механике. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект.

Основные формулы

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

,

где - число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

,

где - проекция силы на направление перемещения; - угол между направлениями силы и перемещения.

 Работа, совершаемая переменной силой, на пути

.

• Кинетическая энергия движущегося тела

.

• Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы

или ,

где - единичные векторы координатных осей.

• Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту .

,

где - ускорение свободного падения.

• Закон сохранения механической энергии Т + П = Е = соnst.

• Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

,

где - расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; - момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

• Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

; ,

где - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси .

• Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

.

Семестровые задания

3.1. Шар массой m₁ = 4 кг движется со скоростью = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью =2 м/с. Считая удар прямым, центральным, а шары абсолютно упругими, найти их скорость после удара.

3.2. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью = 10 м/с, разорвалась на две части. Массы осколков равны 8 кг и 4 кг. Скорость меньшего осколка равна = 50 м/с и направлена также, как и скорость ядра до разрыва. Определить скорость и направление движения большего осколка.

3.3. Два человека на роликовых коньках стоят друг против друга. Масса первого человека 60 кг, а второго 70 кг. Первый бросает второму груз массой m = =5 кг со скоростью, горизонтальная составляющая которой = 5 м/с относительно Земли. Определить скорость первого человека после бросания груза и скорость второго после того, как он поймает груз. Трение не учитывать.

3.4. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 60 см и массой m₁=8 кг стоит человек массой m₂ = 70 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 50 см от оси скамьи. Скорость мяча = 5 м/с.

3.5. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости = 1 м и высотой h = 20 см?

3.6. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением , где А = 2 рад; В = 16 рад/с; С = -2 рад/с². Момент инерции J колеса равен

50 кгм². Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N.

3.7. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию Т₁ поступательного и Т₂ вращательного движений.

3.8. Шар диаметром 6см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 оборота в секунду. Масса шара m = 0,25 кг. Найти кинетическую энергию шара.

3.9. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

3.10. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с^-1?

3.11. Горизонтальная платформа в форме диска массой m = 100 кг и радиусом

R = 2 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой n₁ = 10 об/мин^-1. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек массой m = 60 кг перейдет от края платформы к ее цен­тру.

3.12. На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 10 мин^-1 , сто­ит человек массой m = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 12мин^-1. Определить массу m₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

3.13. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью

= 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

3.14. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти на какой высоте h над поверхностью Земли движется спутник.

3.15. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность  = 3 г/см³. Ускорение свободного падения g на поверхности планеты неизвестно. Определить его.

3.16. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, его масса т = 6,410²³ кг. Определить напряженность G гравитационного поля на поверхности Марса.

3.17. Найти первую и вторую космические скорости вблизи поверхности Солнца.

3.18. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимается ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты равна первой космической скорости.

3.19. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью = 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности считать известными.

3.20. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h = 3200 км и начала падать. Какой путь S пройдет ракета за первую секунду своего падения?