3. Движение материальной точки по окружности

Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора  = (t) (рис. 2.14). Угол  отсчитывается от наперёд выбранного неизменного направления ОМ₀.

Пусть в момент времени t и (t + t) положение частицы на круговой траектории определяется углами ₁ и ₂. Отношение угла поворота радиус-вектора частицы  = ₂ — ₁ ко времени t, за которое произошёл этот поворот, называется средней угловой скоростью движения:

. (2.19)

Рис. 2.14

При малом угле поворота ( « 2), вводится понятие вектора угла поворота . Этот вектор направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Угловая скорость — тоже вектор, совпадающий по направлению с вектором угла поворота .

Предел средней угловой скорости при t  0 — это мгновенная угловая скорость:

. (2.20)

Мгновенная угловая скорость равна первой производной угла поворота радиус-вектора частицы по времени .

Если за промежуток времени от t до (t + t) угловая скорость изменилась от  до ( + ), то это означает, что движение происходило со средним угловым ускорением:

(2.21)

Это тоже векторная величина. Вектор ускорения также как и векторы и , направлен по оси вращения.

По определению, мгновенное угловое ускорение равно первой производной вектора угловой скорости или второй производной угла поворота по времени:

(2.22)

Ясно, что круговое движение материальной точки может характеризоваться и линейной скоростью. Между линейной и угловой скоростями должна существовать связь, поскольку речь идёт о двух подходах к описанию одного и того же движения. Найдём связь этих скоростей.

Выберем начало координат — точку отсчёта 0 — на оси вращения (рис. 2.15).

— радиус-вектор движущейся точки, С — центр ее круговой траектории.

Пусть за время dt частица переместилась из точки М₁ в точку М₂; — радиус-вектор её перемещения.

Линейная скорость частицы по определению .

Рис. 2.15

Воспользовавшись правилом векторного произведения, представим вектор перемещения в следующем виде:

.

Последнее слагаемое равно нулю, так как это векторное произведение двух векторов, совпадающих по направлению.

Значит, , а линейную скорость тогда можно представить так:

,

или , так как .

В частном случае, когда начало координат — точка отсчёта 0 — находится в центре окружности — С, и

. (2.23)

Поскольку , последнее выражение можно представить в скалярном виде:

V = R_c. (2.24)

Возьмём производную этой функции по времени, учтя при этом, что R_c = const.

.

Известно, что , а . Отсюда следует простая связь тангенциальной составляющей линейного ускорения и углового ускорения при вращении по окружности радиуса R:

a_ = R. (2.25)

Лекция 3 «Динамика материальной точки»

План лекции

1. Основная задача динамики. Законы Ньютона.

   1. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта. Масса. Импульс тела.

   2. Второй закон Ньютона — основной закон динамики. Сила.

   3. Третий закон Ньютона.

2. Силы в природе.

   1. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы.

   2. Силы трения.

      1. Сухое трение.

      2. Вязкое трение.

   3. Упругие силы. Закон Гука.

3. Пример применения законов Ньютона.