2. Динамика системы материальных точек

   1. Закон сохранения импульса

Импульс тела — вектор, равный произведению массы этого тела на его скорость:

.

Рассмотрим теперь систему двух взаимодействующих друг с другом тел (рис. 4.2). Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел, входящих в систему:

. (4.7)

Рис. 4.2

При взаимодействии элементов системы, между ними возникают равные и противоположные силы, которые принято называть внутренними:

(3-й закон Ньютона).

Сила действует на первое тело со стороны второго, сила приложена ко второму телу.

Эти силы меняют скорости соответствующих тел и согласно второму закону Ньютона могут быть записаны так:

Сложим уравнения этой системы:

.

Сумма сил в левой части этого уравнения равна нулю, поскольку это силы действия и противодействия:

.

Следовательно, правая часть уравнения — тоже ноль:

.

Это означает, что сумма импульсов элементов системы не изменяется в результате их внутреннего взаимодействия:

(4.8)

Сумма импульсов тел, образующих систему, называется её импульсом.

Результат, к которому мы пришли, можно сформулировать так: импульс системы двух тел не меняется в результате взаимодействия этих тел друг с другом.

Теперь расширим нашу систему до “n” взаимодействующих тел (рис. 4.3). Для каждого элемента системы запишем уравнение 2-го закона Ньютона:

Сложим эти уравнения:

.

Рис. 4.3

Сумма внутренних сил в правой части уравнения равна нулю, так как все эти силы попарно равны и противоположны:

.

Таким образом, можно записать:

.

Отсюда следует закон сохранения импульса:

(4.9)

Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным при любых взаимодействиях этих тел друг с другом.

Система называется замкнутой (или изолированной), если на элементы системы не действуют тела, не включённые в систему. В этом законе нужно обратить особое внимание на два положения:

Импульс системы — векторная величина. «Импульс сохраняется» — означает, что в замкнутой системе не меняется ни величина, ни направление вектора импульса.

Импульс замкнутой системы остаётся неизменным на фоне постоянно меняющихся импульсов элементов этой системы. Эти изменения носят характер передачи импульса (без потерь!) от одних тел системы в процессе взаимодействия — к другим.

2. Теория о движении центра масс

Рассмотрим движение системы «n» взаимодействующих частиц.

Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой отвечает следующему условию

(4.10)

В этом выражении , ,…, — радиус-векторы элементов системы,

— масса системы.

Продифференцировав (4.10) по времени, получим

или

Здесь — скорость движения центра масс системы. Сумма справа есть импульс нашей системы

(4.11)

На каждый элемент системы действуют в общем случае внутренние и внешние силы. Поэтому уравнение 2-го закона ньютона для каждого элемента системы можно записать в таком виде

Просуммировав все уравнения этой системы, получим

Как уже обсуждалось, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю (следствие 3-го закона Ньютона)

Сумма внешних сил — их равнодействующая — определяет скорость изменения импульса системы

(4.12)

Отметим, ещё раз, что при отсутствии внешних сил , то есть в случае замкнутой системы, импульс системы не меняется

и

Также импульс системы будет оставаться постоянным и в случае действия внешних сил, если их равнодействующая равна нулю (это незамкнутая система). Используем результат (4.12) в уравнении движения точки центра масс системы (4.11):

(4.13)

Полученный результат формально схож с уравнением 2-го закона Ньютона для частицы. Но здесь речь идет не о частице, а о движении фиктивной точки — центра масс системы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, а действующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему (теорема о движении центра масс)