- •Курс общей физики (лекции)
- •Раздел I Физические основы механики Москва, 2003 Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
- •Введение. Физика — основа современного естествознания. Из истории физики.
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Скорость движения.
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Силы и потенциальная энергия
Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.
До этого мы определили потенциальную энергию тела в однородном поле силы тяжести — энергию гравитационного взаимодействия двух частиц. Зная силу электростатического взаимодействия точечных зарядов, можно вычислить и их потенциальную энергию. Теперь зададимся обратной задачей: как определить величину и направление консервативной силы, если известна потенциальная энергия частицы U(x,y,z)?
Рассмотрим перемещение частицы в поле консервативной силы . При таком перемещении будет совершена работа, равная изменению потенциальной энергии частицы с отрицательным знаком:
. (7.2)
Учитывая, что = + + и = + + , запишем скалярное произведение в следующем виде:
= Fxdx + Fydy + Fzdz = –dU. (7.3)
Теперь представим, что перемещение осуществляется только вдоль направления х. При этом координаты y и z удерживаются неизменными. Тогда dy = dz = 0, а уравнение (7.3) примет вид:
Fxx = –U.
Откуда x-компонента искомой силы равна:
. (7.4)
Здесь — частная производная потенциальной энергии по координате x в предположении, что y и z постоянны. Формально частная производная определяется так:
.
Для y- и z-компонент консервативной силы можно записать выражения, подобные (7.4):
, . (7.5)
Объединив формулы (7.4) и (7.5), получим вектор искомой силы:
. (7.6)
В этом уравнении заключено правило, следуя которому можно преобразовать скалярную функцию U в векторную — . Вот это правило:
. (7.7)
Оно означает, что следует взять частные производные потенциальной энергии по координатам. Придать этим величинам соответствующие направления, домножив их на единичные векторы, и полученные векторы — компоненты силы — векторно сложить.
Это правило — векторный оператор — называется «градиент» или «набла» и обозначается:
.
Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с противоположным знаком:
. (7.8)
Продолжим рассмотрение движения частицы в потенциальном поле. Потенциальным называется поле консервативных сил.
Если в системе отсутствуют неконсервативные силы, то механическая энергия системы, равная сумме её кинетической и потенциальной энергий, не меняется:
E = Eк + U = сonst.
Так как кинетическая энергия не бывает отрицательной, то U E.
Остановимся, ради простоты, на одномерном движении частицы вдоль оси x. Пусть её полная механическая энергия E = U + Eкин равна E1 = сonst., а зависимость потенциальной энергии представлена графически U = U(x) (рис. 7.3).
График энергии E1 = сonst. выделяет несколько областей на оси x. В области 1 от х = 0 до хА частица не может появиться, так как здесь её потенциальная энергия U оказалась бы больше полной энергии E1. По этой же причине частице недоступна и область 3.
Частица может двигаться в области 2 между точками с координатами хА и хВ и в области 4: от точки с координатой хС до х .
U
Рис. 7.3
Движение в области 2 — это ограниченное движение в потенциальной яме. Такое движение называется финитным. В положениях хА и хВ потенциальная энергия частицы равна её механической энергии (UA = UB = E1), то есть в этих положениях кинетическая энергия и скорость частицы равны нулю.
В точке D потенциальная энергия частицы минимальна, а кинетическая энергия = (Е1 – UD) достигает максимального значения. В этой точке и скорость частицы максимальна.
Если после точки С (х > хС) потенциальная энергия U повсюду меньше механической энергии частицы Е1, то в этой области движение частицы неограниченно. Такое движение называется инфинитным.