3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

При течении жидкости между её отдельными частицами возникают силы вязкого сопротивления. В газах эти силы сравнительно невелики, и ими можно пренебречь. Однако и во многих случаях течения жидкости влияние её вязкости так же оказывается несущественным. Идеальной называется жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы внутреннего трения (вязкости).

Выделим в стационарном потоке идеальной жидкости элементарный объём dV = dx  dy  dz в виде кубика в точке (рис. 11.5). Рассмотрим силы, действующие со стороны окружающей жидкости на каждую грань кубика. Эти силы определяют движение выделенного элемента жидкости. В направлении z действуют силы давления

F_z = и F_(z+dz) = и сила тяжести F_T = _жgdV = _жgdxdydz.

Рис. 11.5

Запишем уравнение второго закона Ньютона для движения этого элемента в направлении z:

.

Здесь: dm = _жdxdydz — масса «кубика»;

a_z = — его ускорение в направлении z.

Упростив, получим:

.

Для направлений x и y запишем аналогичные уравнения (без силы тяжести, разумеется):

;

.

Объединим эти скалярные уравнения в одно векторное:

,

или

. (11.5)

Уравнение (11.5) — основное уравнение динамики идеальной жидкости. В этом уравнении вектор называется градиентом давления P и обозначается gradP.

Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в потоке трубку тока, а в ней — объём, ограниченный стенками трубки и двумя сечениями S₁ и S₂ (рис. 11.6). Скорости течения в этих сечениях — v₁ и v₂ — соответственно, а сами сечения расположены на уровнях h₁ и h₂. Спустя время t выделенные сечения переместятся вместе с жидкостью вдоль линии тока на расстояния l₁ = v₁t и l₂ = v₂t. Вычислим изменение энергии выделенного объёма жидкости за промежуток времени t:

.

Рис. 11.6

Это выражение можно упростить, учитывая, во-первых, несжимаемость жидкости: ₁ = ₂ =  и, во-вторых, уравнение неразрывности потока: S₁v₁t = S₂v₂t = V:

. (11.6)

Поскольку сила вязкого сопротивления при этом перемещении отсутствует (жидкость идеальна), найденное изменение энергии обусловлено работой только сил давления А(Р) = Е₂ – Е₁:

A = P₁S₁l₁ – P₂S₂l₂ = (P₁ – P₂)V. (11.7)

Приравняв работу сил давления (11.7) изменению механической энергии выделенного элемента трубки тока (11.6), получим:

.

Последнее уравнение принято представлять так:

.

Сечения S₁ и S₂ выбраны произвольно, поэтому полученный результат можно трактовать шире: при стационарном течении идеальной жидкости в любом сечении трубки тока выполняется следующее условие:

(11.8)

Это и есть уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости. В этом уравнении: Р — статическое давление;

gh — гидростатическое давление;

— динамическое давление.

Далее на ряде примеров покажем, как используется уравнение Бернулли для решения различных задач гидродинамики.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики

   1. Истечение жидкости из сосуда

Вычислим скорость истечения жидкости через отверстие в сосуде (рис. 11.7). Выделим в толще жидкости трубку тока. При этом не важна конфигурация этой трубки, важно, что одно её сечение расположено на поверхности жидкости в сосуде, другое — на срезе отверстия. Обе эти поверхности находятся под одним и тем же статическим атмосферным давлением — Р₀. Гидростатические давления в сечениях будут определяться высотами h₀ и h. Задав скорости жидкости в сечениях V₀ и V, запишем на основании уравнения Бернулли следующее равенство:

,

или

.

Отсюда — искомая скорость истечения:

.

Рис. 11.7

Для отыскания скорости V₀ на свободной поверхности жидкости, воспользуемся уравнением неразрывности:

V₀S₀ = VS.

Если S << S₀, то V₀ = — ничтожно по сравнению с V. Поэтому, если сечение отверстия S много меньше площади открытой поверхности жидкости в сосуде S₀, то последнее уравнение можно упростить:

. (11.9)

Это известная формула Торричелли. Согласно этой формуле, скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в точности равна скорости, которую приобретает тело, свободно падая с высоты (h₀ – h). Причём эта скорость не зависит от угла к горизонту, под которым вытекает жидкость.

Записав формулу Торричелли по-другому:

,

приходим к выводу, что если вытекающую струю направить вертикально, то жидкость в идеале поднимется на высоту h = h₀ – h, то есть достигнет первоначального уровня h₀.