Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Определение.
Вещественный
ряд
называют положительным,
если
для
.
Пусть даны два положительных ряда и .
Теорема
5 (Признак сравнения). Пусть,
начиная с некоторого номера,
.
Тогда:
из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Теорема 6 (Предельный признак сравнения).
Пусть существует
предел
.
Тогда:
при
ряды
и
сходятся
или расходятся одновременно;при
из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
.при
из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Сравним данный ряд с рядом геометрической
прогрессии
,
который сходится (
).
Имеем
.
Следовательно, по теореме 5 данный ряд
сходится.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Рассмотрим ряд
.
Сравним этот ряд с гармоническим рядом:
,
который расходится. Так как
,
то по теореме 6 исходный ряд расходится.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Исследуем сходимость этого ряда с
помощью предельного признака сравнения.
Так как
при
,
(эти величины эквивалентны), то для
сравнения берем ряд с общим членом
,
т.е. ряд
(гармонический ряд). Имеем:
.
Следовательно, по предельному признаку
сравнения исходный ряд расходится.
Замечание. Применяя признаки сравнения, рекомендуется использовать ряды, сходимость которых заранее известна. Такими рядами, в частности, являются: ряд геометрической прогрессии, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд, сходимость которого будет исследована позже.
Теорема
7 (Признак Даламбера).
Пусть
-
положительный ряд, и существует конечный
или бесконечный предел
(
).
Тогда, при
ряд
сходится, а при
- расходится.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Обозначим
,
.
Применяя признак Даламбера, получаем
.
Следовательно, ряд сходится.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
;
Решение.
,
.
Тогда
=
.
Ряд сходится.
Теорема
8 (Радикальный признак Коши).
Пусть
-
положительный ряд и существует конечный
или бесконечный предел
.
Тогда, при
ряд
сходится, а при
- расходится.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Применяя признак Коши, получим
.
Ряд сходится.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
Применяя признак Коши для исследования
сходимости ряда:
,
поэтому ряд сходится.
Замечание.
Применяя признак Коши, полезно использовать
пределы
и формулу
Стирлинга
,
выражающую значение
через
степенную функцию. Здесь знак
означает, что указанные бесконечно
большие величины эквивалентны.
Замечание. При признаки Даламбера и Коши не дают ответ на вопрос о сходимости ряда. В этом случае необходимы дополнительные исследования. Иногда здесь помогают более сложные признаки (признаки Раабе, Гаусса и другие). Во многих случаях эффективен интегральный признак Коши.
Пусть
числовой ряд имеет вид
,
т.е. каждый член ряда может быть записан
как значение некоторой функции
при целочисленных значениях аргумента.
Причем функция
непрерывна, положительна и монотонно
убывает. Функция
будет монотонно возрастающей, т.к.
,
т.е. при
будет иметь конечный либо бесконечный
предел, а следовательно, и несобственный
интеграл
будет либо сходящимся, либо расходящимся.
Теорема 9 (Интегральный признак Коши). Ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример.
Исследовать
на сходимость
обобщенный
гармонический ряд (ряд Дирихле):
, где
- действительное число,
Решение.
Для исследования сходимости применим
интегральный признак Коши (признаки
Даламбера и Коши ответа о сходимости
не дают). Рассмотрим функцию
.
Эта функция непрерывна, монотонно
убывает на промежутке
и
.
При
имеем:
.
При
имеем гармонический ряд
,
который расходится (
).
Таким
образом, обобщенный гармонический ряд
сходится при
,
расходится при
.