2. Теория рядов

2.1. Числовые ряды

2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)

Определение. Выражение называют числовым рядом, или просто рядом, а сами числа - членами ряда.

Числовой ряд будем обозначать .

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Определение. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается , т.е.

Рассмотрим частичные суммы:

,…,

Определение. Если последовательность имеет конечный предел: , то говорят, что ряд сходится. В этом случае, предел называют суммой ряда и пишут: .

Ряд расходится, если последовательность не имеет предела или он равен . Если , то говорят, что сумма ряда равна , и пишут: .

Пример. Показать, что числовой ряд расходится.

Решение. Запишем n-ю частичную сумму ряда. Имеем

Тогда при имеем . Следовательно, ряд расходится, и считается,что его сумма равна .

Пример. Показать, что ряд сходится.

Решение. Частичные суммы ряда имеют вид: , , …, . Вычислим сумму ряда: , т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример. Исследовать на сходимость ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию: = .

Решение. Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле . Найдем предел этой суммы: .

В зависимости от величины q имеем:

1. если , то при . Поэтому , ряд сходится, его сумма равна ;

2. если , то при . Поэтому , ряд расходится;

3. если , то при ряд принимает вид ,

для него и , т.е. он расходится;

при ряд принимает вид , в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при . Такой ряд будем называть рядом геометрической прогрессии.

Свойства сходящихся рядов

Теорема 1. Если в ряде отбросить конечное число первых членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 2. Если ряды и сходятся и С – некоторое число, то ряды и также сходятся, при этом , .

Теорема 3. (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или не существует, то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд расходится, т.к. , т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд расходится, т.к. .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. = , для него , но этот ряд является расходящимся. Докажем это. Предположим, что ряд сходится и его сумма равна S, тогда имеем . С другой стороны,

. Значит, . Полученное противоречие, доказывает, что данный ряд не может сходиться. Данный ряд называется гармоническим.

Теорема 4 (Критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для такой, что при неравенство выполнялось для любого конечного .