1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
1.3.1. Определение производной
Пусть задана однозначная функция на области D (открытом связном множестве) комплексной плоскости.
Определение. Производной функции в точке z называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю
.
Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке .
Если функция является дифференцируемой в каждой точке области , то говорят, что она аналитическая в области .
Поскольку определение производной функции комплексного переменного полностью аналогично определению производной функции действительной переменной, то в случае дифференцируемости функции , все известные правила дифференцирования остаются в силе.
1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
Теорема
1 (Условия
Коши – Римана).
Для того,
чтобы функция
,
определенная в некоторой области
,
была дифференцируема в точке
этой области, как функция комплексного
переменного, необходимо и достаточно,
чтобы функции
и
были дифференцируемы в той же точке
(как функции действительных переменных)
и, чтобы, кроме того, выполнялись условия:
.
При выполнении условий теоремы, производная функции может быть представлена в виде:
.
1.3.3. Производные основных элементарных функций
Показательная функция .
Имеем
.
Действительная и мнимая части будут, соответственно,
.
Находим
частные производные:
.
Следовательно,
,
т.е. условия Коши-Римана выполнены,
значит, функция
аналитическая, и ее производная:
.
Функция
.
По
определению:
.
Т.е. является аналитической функцией,
тогда, пользуясь правилами дифференцирования,
получим:
.
Функция
.
Аналогично предыдущему:
.
Функция
.
.
Функция
.
.
Функция
.
Логарифмическая функция является обратной к показательной функции, а значит – аналитической. Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции.
Имеем:
,
тогда
.
Функция
.
Производную степенной функции вычислим непосредственно по определению:
.
Предел
существует, следовательно,
функция
аналитическая, и ее производная:
.
Таким образом, мы показали, что основные элементарные функции комплексного переменного являются аналитическими функциями. Следовательно, всякая функция комплексного переменного, являющаяся композицией конечного числа основных элементарных функций, будет аналитической или дифференцируемой в области своего определения.
Пример.
Вычислить
производную функции
.
Решение.
Имеем:
=
=
.
1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
Условия, при которых функция комплексного переменного дифференцируема, достаточно жесткие. Поэтому, аналитическая функция, с точностью до постоянного слагаемого, может быть задана свой действительной или мнимой частью.
Действительная
и мнимая части функции
,
аналитической в некоторой области D,
связаны условиями Коши – Римана:
.
Пусть
известна одна из частей аналитической
функции, например
.
Из условия:
можно найти
(с точностью до неизвестной функции
).
Эту функцию
,
с точностью до постоянного слагаемого,
найдем из второго условия
.
А
именно,
или
.
Пример.
Найти
аналитическую функцию
,
если известна её мнимая часть
.
Решение.
Так как
,
то из условия
находим:
.
Следовательно,
,
где функция
пока
неизвестна. Для нахождения функции
дифференцируем
это равенство по y
и приравниваем
к известной производной, используя
условие
:
,
откуда
Следовательно,
Окончательно получаем
=
.
Ответ.
.