![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
4.3. Проверка статистических гипотез
Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности.
Определение. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметра или вида распределения изучаемой случайной величины Х.
Если распределение случайной величины Х известно, а по выборке наблюдений проверяют гипотезы о значении параметров распределения, то такие гипотезы называют параметрическими. Если же проверяются гтпотезы о виде самого распределения, то такие гипотезы называются непараметрическими.
Определение.
Проверяемая
гипотеза называется
нулевой гипотезой и
обозначается
.
Наряду с гипотезой
рассматривают
одну из
альтернативных (конкурирующих) гипотез
.
Например,
если проверяется гипотеза о том, что
параметр
равен некоторому заданному значению
,
т.е.
,
тогда в качестве альтернативной гипотезы
могут быть взяты следующие:
.
Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.
Определение. Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется критерием К.
Решение признать или отклонить гипотезу, принимается на основе выборки наблюдений за случайной величиной Х. Поэтому, необходимо иметь некоторую подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой Z критерия К.
Критерий
К
задают с помощью критического
множества
,
которое является подмножеством множества
значений статистики Z.
Решение принимают следующим образом:
если выборочное значение статистики
принадлежит критическому множеству (критической области), то отвергают нулевую гипотезу и принимают альтернативную гипотезу ;
если выборочное значение статистики не принадлежит критическому множеству (то есть принадлежит дополнению
множества до множества значений статистики Z), то отвергают альтернативную гипотезу и принимают нулевую гипотезу .
При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов:
принять гипотезу , если верна - ошибка первого рода;
принять гипотезу , если верна - ошибка второго рода.
Вероятности
совершения ошибок первого и второго
рода обозначаются соответственно,
и
:
,
,
где - выборочное значение статистики Z,
-
вероятность события А
при условии, что справедлива гипотеза
.
Определение.
Вероятность
называют
уровнем значимости критерия и
фиксируют перед анализом выборки.
Как правило,
.
Определение.
Величину
(
),
которая равна вероятности отвергнуть
нулевую гипотезу, если она верна,
называют
мощностью критерия.
Отметим, что при заданном объеме выборки нельзя одновременно уменьшить и , и . Как правило, уровень значимости критерия задают заранее, а критическую область следует выбирать таким образом, чтобы величина была минимальна.
Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:
сформулировать проверяемую ( ) и альтернативную ( ) гипотезы;
назначить уровень значимости ;
выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы ;
определить выборочное распределение статистики Z при условии, что верна гипотеза ;
в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область одним из неравенств
или совокупностью неравенств
и
;
получить выборку наблюдений и вычислить выборочное значение статистики критерия;
принять статистическое решение:
если
, то отклонить гипотезу , как не согласующуюся с результатами наблюдений;
если
, то принять гипотезу , то есть считать, что она не противоречит результатам наблюдений.
Для проверки гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности используются следующие статистики.
Пример.
Проверим гипотезу о том, что генеральная
средняя нормально распределенной
совокупности равна заданному числу
.
Для
проверки этой гипотезы при известной
дисперсии
следует использовать статистику:
,
которая
имеет нормальное
распределение с
параметрами:
(обозначается
);
если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то статистику:
,
которая имеет распределение Стьюдента с степенью свободы.
Здесь - объем выборки,
-
выборочное среднее,
-
выборочная дисперсия,
- известное среднеквадратичное отклонение,
-
заданное число.
Задача. Пусть из нормально распределенной генеральной совокупности
а)
с известной дисперсией
,
б) с неизвестной дисперсией
извлечена
выборка объема
и найдена выборочная средняя
.
Требуется при уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
(здесь
- генеральная средняя), если конкурирующая
гипотеза
.
Решение. а) Поскольку дисперсия генеральной совокупности известна, выбираем статистику критерия , имеющую распределение .
Вычислим наблюдаемое (выборочное) значение статистики критерия -
.
Так
как альтернативная гипотеза
,
то критическую область следует взять
двухсторонней, она задается неравенствами:
и
.
Плотность
нормального распределения симметрична,
значит, критическая область будет задана
неравенством:
.
Таким
образом,
,
(здесь
-
функция Лапласа) отсюда
.
По
таблице значений функции Лапласа
(приложение 1) находим
.
Так
как
(3 > 1.96), то выборочное значение статистики
критерия попадает в критическую область,
значит нулевую гипотезу отвергаем.
Выборочное среднее и математическое
ожидание генеральной совокупности
различаются значимо.
б)
Если дисперсия неизвестна, то в качестве
статистики критерия возьмем статистику
,
которая имеет распределение Стьюдента
с
степенью свободы.
Плотность
распределения Стьюдента нечетная
функция,
,
поэтому критическая область определяется
неравенством
.
Тогда
,
.
По
таблице квантилей распределения
Стьюдента (приложение 2) находим
,
следовательно, вывод тот же, что и в
предыдущем случае а).
Пример.
Проверим гипотезу о том, что генеральная
дисперсия нормально распределенной
совокупности равна заданному значению
.
Обозначим
через n
объем выборки, по которой найдена
несмещенная дисперсия
.
Для
того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве неизвестной генеральной
дисперсии
гипотетическому (предполагаемому)
значению
при конкурирующей гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение
статистики критерия
,
которая имеет распределение
с
степенью свободы. По таблице критических
точек распределения
,
по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
находим критическую точку
.
Если
- нулевая гипотеза принимается, если
- нулевую гипотезу отвергают.
Задача.
Из нормальной генеральной совокупности
извлечена выборка объема
и по ней найдена выборочная дисперсия
.
Требуется при уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
,
приняв в качестве конкурирующей гипотезы
.
Решение.
Найдем наблюдаемое значение критерия:
.
По условию, конкурирующая гипотеза
имеет вид
,
поэтому критическая область –
правосторонняя. По приложению 3, по
уровню значимости
и числу степеней свободы
находим критическую точку
.
Так как
- нулевая гипотеза принимается, т.е.
различие между выборочной дисперсией
и предполагаемой генеральной дисперсией
незначимо.
Для проверки непараметрических гипотез также найден ряд подходящих статистик.
Пример. Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение.
Пусть
эмпирическое распределение задано в
виде последовательности
равноотстоящих
вариант и соответствующих им частот:
.
Гипотезу
можно проверить с помощью критерия
Пирсона, в котором используют статистику:
,
где
n
– объем выборки, h
– шаг, равный разности между соседними
вариантами,
- наблюдаемая частота,
- теоретическая частота,
- плотность нормального распределения
.
Статистика
Z
имеет
(хи-квадрат) распределение с
степенями свободы (при условии, что
математическое ожидание и дисперсия
генеральной совокупности неизвестны).
Для проверки гипотезы при заданном уровне значимости , надо:
Вычислить выборочную среднюю
и выборочную дисперсию
.
Вычислить теоретические частоты
Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:
а)
составляют расчетную таблицу, по которой
находят наблюдаемое значение критерия
б)
по таблице критических точек распределения
,
по заданному уровню значимости
и числу степеней свободы
находят критическую точку
правосторонней критической области.
Если
, то нет оснований отвергать гипотезу
о нормальном распределении генеральной
совокупности. Другими словами, эмпирические
и теоретические частоты различаются
незначимо (случайно).
Если
- гипотезу отвергают. Другими словами,
эмпирические и теоретические частоты
различаются значимо.
Задача.
Используя
критерий Пирсона, при уровне значимости
0,01 установить, случайно или значимо
расхождение между эмпирическими
частотами
и теоретическими частотами
,
которые вычислены, исходя из гипотезы
о нормальном распределении генеральной
совокупности
:
.
Решение.
Найдем наблюдаемое значение статистики
критерия Пирсона:
.
Составим расчетную таблицу:
|
|
|
- |
|
|
1 |
8 |
6 |
2 |
4 |
0,667 |
2 |
16 |
18 |
-2 |
4 |
0,222 |
3 |
40 |
36 |
4 |
16 |
0,444 |
4 |
72 |
76 |
-4 |
16 |
0,211 |
5 |
36 |
39 |
-3 |
9 |
0,231 |
6 |
18 |
18 |
0 |
0 |
- |
7 |
10 |
7 |
3 |
9 |
1,286 |
|
|
|
|
|
|
Из
таблицы видно, что наблюдаемое значение
критерия:
.
По таблице критических точек распределения
,
по уровню значимости 0,01 и числу степеней
свободы
(приложение 3) находим критическую точку
правосторонней критической области
.
Так как
,
то нет оснований отвергать гипотезу о
нормальном распределении генеральной
совокупности, т.е. расхождение между
эмпирическими и теоретическими частотами
незначимо (случайно).
Отметим,
что если вариационный ряд непрерывный,
то весь интервал изменения случайной
величины Х
разбивают на
промежутков одинаковой длины, и в
качестве новых вариант берут середины
интервалов:
.
Затем нормируют случайную величину Х,
то есть переходят к новой случайной
величине
и находят теоретические частоты
,
где
- функция Лапласа. При этом наименьшее
значение Y
приравнивают к
,
а наибольшее – к
.
Статистика
,
- сумма частот, попавших в
i
- интервал,
имеет также
-распределение
с
степенями
свободы. Затем вычисляют выборочное
значение статистики критерия Пирсона
и по таблице квантилей
-распределения
находят критическое значение статистики
,
соответствующее заданному уровню
значимости и числу степеней свободы.
Если
,
то гипотеза о нормальном распределении
генеральной совокупности принимается,
в противном случае гипотеза отвергается.