1.2. Функции комплексного переменного
Пусть
- некоторое множество комплексных чисел
(или множество точек комплексной
плоскости). Пусть комплексное число
может принимать любое значение из
,
тогда будем называть
- комплексным переменным, а
- областью его изменения.
Определение.
Величина
называется
функцией независимого переменного
,
если каждому
значению
соответствует
одно или несколько комплексных значений
,
при этом пишут:
.
Запишем комплексные числа и в алгебраической форме:
,
.
Тогда
,
и значит, задание функции комплексного
переменного
эквивалентно заданию двух действительных
функций от двух действительных переменных.
Определение.
Число
называется пределом функции
при
,
если для любого
найдется такое
,
что
как только
(
).
Записывают:
.
Несложно показать, что соотношение ,
где
,
а
,
эквивалентно двум действительным
соотношениям:
.
Определение.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если она определена в некоторой
окрестности этой точки и
.
Если
,
определенная на множестве
,
непрерывна в каждой точке этого множества,
то говорят, что она непрерывна на
множестве
.
Вновь легко показать, что условие
непрерывности функции
в точке
эквивалентно двум соотношениям:
.
Таким образом, функция комплексного
переменного непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда ее действительная
и мнимая части, рассматриваемые как
функции действительных переменных
и
,
непрерывны в той же точке.
Введем определения основных элементарных функций комплексного переменного.
Показательная
функция
.
Определение.
Функция
для
комплексных значений z=x+iy
определяется формулой:
.
Следовательно,
Свойства функции :
Для любых
и
справедливо:
.Функция
периодична с периодом
:
.Функция непрерывна на всей комплексной области.
Для любого имеют место равенства:
Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение
разрешимо для любого комплексного
.
Тригонометрические функции.
Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются формулами:
,
.
Свойства тригонометрических функций:
функции
непрерывны на всей комплексной плоскости,функции принимают все значения, т.е. уравнения
и
имеют решения для любого комплексного
числа
.
при
;
при
.все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для всех действительных чисел, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z.
Например:
,
,
.
функции являются периодическими с периодом :
функция
-
нечетная функция,
;
функция
-
четная функция,
.функция
непрерывна при
,
функция
непрерывна при
.
Гиперболические функции
Гиперболические
функции
определяются равенствами:
- гиперболический
синус (
),
-
гиперболический
косинус (
),
-
гиперболический
тангенс,
-
гиперболический
котангенс.
Свойства гиперболических функций вытекают из свойств функций и ; все формулы, справедливые при действительных значениях x, остаются справедливыми и для комплексных значений z.
Логарифмическая функция
Логарифмическая
функция
определяется как функция обратная к
показательной.
Определение.
Если
,
где
,
то
называется логарифмом
числа
z
и обозначается
Перепишем
равенство
в виде
,
тогда получим, что
и
.
Следовательно, логарифмическая функция задается равенством:
,
Логарифмическая
функция многозначна; ее ветвь,
соответствующую главному значению
аргумента
,
называют главным
значением логарифмической функции
и обозначают
.
Таким образом,
Свойства логарифмической функции:
.
Обратные тригонометрические функции
Определение.
Если
,
то
называется арксинусом
числа z
и обозначается
Разрешая уравнение относительно , получим:
.
Аналогично можно получить выражения для других обратных тригонометрических функций; все они выражаются через логарифмическую функцию:
,
,
.
Пример.
Найти
Решение.
,
но
,
и
поэтому
.
Пример.
Найти: а)
,
б)
Решение.
а) Поскольку
,
а главное значение аргумента у числа
-1 равно
,
то получим:
=
.
б)
по формуле
получаем
Пример.
Найти
Решение.
По
определению функции
получаем:
Пример.
Записать в
алгебраической форме
Решение.
,
тогда имеем
