- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительной переменной, определяемая равенством:
,
где - вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .
Свойства функции распределения .
Все значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. .
Функция является неубывающей: если , то .
непрерывна слева при любом , т.е. .
, .
5. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности значений функции распределения в концах этого промежутка .
Функция распределения полностью характеризует случайную величину как дискретную, так и непрерывную. Функцию распределения еще называют интегральным законом распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: , где выражение означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше . Такая функция является ступенчатой функцией. Для непрерывной случайной величины функция распределения является непрерывной функцией.
Непрерывная случайная величина может быть охарактеризована еще одной функцией.
Определение. Плотностью распределения случайной величины называется числовая функция , определяемая соотношением: (т.е. предел отношения вероятности того, что значение случайной величины попадет в промежуток к длине этого промежутка).
Свойства плотности распределения .
Функция является неотрицательной: .
Интеграл по бесконечному промежутку от плотности распределения вероятностей равен единице: (это свойство называют условием нормировки).
В точках дифференцируемости производная функции распределения равна плотности распределения вероятностей:
.
4. Функция распределения связана с плотностью распределения соотношением: .
5. Вероятность попадания значений случайной величины в полуинтервал равна определенному интегралу от плотности распределения по отрезку : .
Свойства 3 и 4 устанавливают связь между функцией распределения и плотностью распределения. Плотность распределения еще называют дифференциальным законом распределения.
Пример. Случайная величина задана функцией распределения .
Найти плотность распределения , построить графики функций и .
Решение. Используя свойство 3, находим: .
Графики функций и изображены на Рис.4 и 5.
Рис. 4
Рис. 5
Пример. Найти функцию для дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: .
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то функцию строим, используя формулу .
При .
Если , то .
При : .
Если : то .
При : .
График функции изображен на Рис. 6.
Рис. 6
Пример. Для случайной величины известна плотность распределения . Требуется найти функцию распределения .
Решение. Будем использовать свойство 4 плотности распределения.
Рассмотрим следующие промежутки:
Пусть , тогда ;
Пусть , тогда ;
Пусть , тогда .
Окончательно, получаем: .