1.1.2. Формы записи комплексных чисел

Используя операции сложения и умножения комплексных чисел, запишем комплексное число в виде:

.

Эта форма записи комплексного числа называется алгебраической формой.

Комплексные числа, записанные в алгебраической форме можно складывать и умножать как обычные двучлены, учитывая, что .

Пример. .

Определение. Два комплексных числа и , которые отличаются знаком у мнимой части, называют комплексно сопряженными числами.

Подчеркнем, что .

Операцию деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, можно определить с помощью операции умножения. А именно, чтобы вычислить значение надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю:

.

Пример. .

Используя понятие модуля и аргумента комплексного числа можно записать:

.

Эту форму записи называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить, используя свойства модуля и аргумента.

Введем обозначение (позже мы увидим, что введенный здесь формально символ есть не что иное, как ). Тогда получим показательную форму записи комплексного числа:

.

Таким образом, всякое комплексное число можно записать в трех формах:

.

В силу указанных свойств модуля и аргумента, операции умножения и деления комплексных чисел удобнее выполнять, если эти числа записаны в тригонометрической или показательной форме.

Пример. Записать комплексное число в трех формах записи.

Решение. - алгебраическая форма записи. , ,

- тригонометрическая форма записи,

- показательная форма записи.

Пример. Вычислить , если , .

Решение. Запишем данные комплексные числа в показательной форме. , , . , , . Тогда .

1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

Свойства модуля и аргумента комплексного числа позволяют получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень:

- эту формулу называют формулой Муавра.

Или в показательной форме .

Легко проверить, что эта формула остается справедливой и для , и для целых отрицательных степеней.

Пример. Найти

Решение. Запишем сначала число в тригонометрической форме:

, .

По формуле Муавра имеем:

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , для которого: .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент , где . Таким образом,

или .

Придавать «k» значения, большие, чем не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ). Следовательно, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, модули которых одинаковы ( ), а аргументы двух последовательных значений отличаются на угол . Таким образом, все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса .

Пример. Вычислить все значения корня

Решение. , , ,

, .

Ответ. , .

Пример. Найти все значения .

Решение. Имеем , тогда .

Ответ. , .