- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
4. Математическая статистика
4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
4.1.1. Статистическое распределение выборки
Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики.
Эти методы позволяют получать обоснованные выводы о параметрах или виде распределения случайных величин по совокупности наблюдений над ними – выборке.
Пусть проводится эксперимент со случайной величиной , имеющей функцию распределения .
Определение. Выборкой объема из генеральной совокупности с функцией распределения называется последовательность наблюдаемых значений случайной величины , соответствующих независимым повторениям эксперимента.
Замечание. Выборку объема можно определить как совокупность случайно отобранных объектов из некоторого множества объектов – генеральной совокупности.
Пусть в результате эксперимента получены значения изучаемой случайной величины (среди них могут быть повторяющиеся значения).
Определение. Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, то есть записываются в виде последовательности , где .
Пусть в выборке объема число встречается раз .
Определение. Числа называют вариантами. Число называют частотой варианты . Число называют относительной частотой варианты .
Определение. Размахом выборки называется разность между максимальной и минимальной вариантой выборки .
Определение. Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называется последовательность пар или .
Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит упорядоченные по величине варианты , а вторая – их частоты (или относительные частоты).
Пример. Записать вариационный ряд и статистическое распределение выборки 4,3,3,1,2,2,5,4,4,3,5,5,6,6,4. Определить размах выборки.
Решение. Объем выборки . Упорядочив варианты по величине, получим вариационный ряд 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6. Размах выборки .
Статистическое распределение выборки
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
2 |
для контроля правильности записи находим: ;
или
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1/15 |
2/15 |
3/15 |
4/15 |
1/15 |
2/15 |
для контроля записи находим: .
При большом объеме выборки ее элементы (варианты) объединяют в группы, представляя результаты опыта в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все варианты выборки, разбивается на частичных непересекающихся интервалов. Для упрощения вычислений частичные интервалы выбирают одинаковой длины . После того, как частичные интервалы выбраны, определяют частоты – количество вариант, попавших в -й интервал (варианта, совпадающая с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины интервалов группировки, а в нижней – частоты .
В зависимости от объема выборки число интервалов группировки берется от 6 до 20. Следует помнить, что группировка вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интервалов.
Для наглядности представления полученных статистических экспериментальных данных весьма целесообразно наряду со статистическим распределением выборки давать графическое представление.
Определение. Полигоном частот (относительных частот) группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках (в точках ).
Определение. Гистограммой частот (относительных частот) группированной выборки называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на частичных интервалах группировки, высоты которых равны .
Отсюда следует, что площадь гистограммы равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот - единице.
Пример. Представить выборку 55 наблюдений в виде группированного статистического ряда, используя 7 интервалов группировки. Построить полигон и гистограмму частот группированной выборки.
Выборка
17 |
19 |
23 |
18 |
21 |
15 |
16 |
13 |
20 |
18 |
15 |
20 |
14 |
20 |
16 |
14 |
20 |
19 |
15 |
19 |
16 |
19 |
15 |
22 |
21 |
12 |
10 |
21 |
18 |
14 |
14 |
17 |
16 |
13 |
19 |
18 |
20 |
24 |
16 |
20 |
19 |
17 |
18 |
18 |
21 |
17 |
19 |
17 |
13 |
17 |
11 |
18 |
19 |
19 |
17 |
Решение. Размах выборки , количество интервалов – 7. Длина интервала .
Сформируем группированное статистическое распределение выборки
Номер интервала i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Границы интервала |
10-12 |
12-14 |
14-16 |
16-18 |
18-20 |
20-22 |
22-24 |
Середина интервала |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
Частота |
2 |
4 |
8 |
12 |
16 |
10 |
3 |
Относительная частота |
0,0364 |
0,0727 |
0,1455 |
0,2182 |
0,2909 |
0,1818 |
0,0545 |
Полигон группированных относительных частот изображен на Рис. 7.
-
0 .3 - .
0.2 -
.
-
11 15 19 23
Рис. 7.
Гистограмма группированных частот представлена на Рис. 8.
-
8 -
6 -
4 -
2 -
12 16 20 24
Рис. 8.