3.2.3. Математическое ожидание случайной величины

Случайные величины, помимо законов распределения, могут также описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение, моменты различных порядков и др.).

Определение. Математическим ожиданием (средним значением по распределению) случайной величины называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины формулой: или , если случайная величина дискретного типа;

, если случайная величина непрерывна.

При этом ряд и несобственный интеграл должны сходиться.

В частности, если значения случайной величины принадлежат отрезку , то .

Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание случайной величины заключено между наибольшим и наименьшим значениями этой величины.

2. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

5. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Пример. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины по ее закону распределения, заданному таблицей: .

Решение. Исходя из определения, находим:

.

Пример. Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины, если известна плотность распределения: .

Решение. По определению получаем:

= = =

= .

Определение. Модой непрерывной случайной величины называется действительное число , являющееся точкой максимума плотности распределения вероятностей . Модой дискретной случайной величины называется такое возможное значение , для которого .

Таким образом, мода – есть наиболее вероятное значение случайной величины, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение), или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Определение. Медианой непрерывной случайной величины называется действительное число , удовлетворяющее условию:

.

3.2.4. Дисперсия случайной величины

Определение. Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число , равное математическому ожиданию квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

.

Таким образом, дисперсия равна:

или , если случайная величина дискретная;

, если случайная величина непрерывна.

При этом ряд и несобственный интеграл должны сходиться.

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

5. Дисперсия случайной величины удовлетворяет соотношению:

.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: .

Пример. Найти дисперсию случайной величины .

Решение. Найдем сначала математическое ожидание случайной величины: = = .

Дисперсию случайной величины найдем по определению: = = = .

Пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана следующим законом распределения: .

Решение. Найдем математическое ожидание: .

Запишем закон распределения случайной величины :

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины: .

По свойству 5 дисперсия будет равна:

= .