Вопросы к экзамену

1. Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства. Множество вещественных чисел.

2. Функция. Область определения, область значения функции. Способы задания и основные свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Виды преобразований графиков функций. Суперпозиция функций. Обратная функция, ее график и свойства.

4. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.

5. Предел функции в точке и на бесконечности. Пределы монотонных функций. Свойства функций, имеющих предел в точке или на бесконечности. Замечательные пределы.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.

7. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции.

8. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

9. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды.

10. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения.

11. Ряды с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши.

12. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

13. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

14. Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение функций в ряды Маклорена и Тейлора.

15. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Геометрический и физический смысл производной функции. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования, таблица производных.

16. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

17. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

18. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

19. Правило Лопиталя. Применение производной функции к вычислению пределов.

20. Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума.

21. Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.

22. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

23. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование рациональных функций.

24. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Таблица интегралов.

25. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

26. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница, ее применение в вычислении определенных интегралов. Геометрический смысл.

27. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.

28. Двойной и тройной интегралы, их свойства.

29. Функции многих переменных. Функция двух переменных, геометрический смысл. Область определения.

30. Предел функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.

31. Производная по направлению. Градиент.

32. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

33. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа, применение в поиске оптимальных решений.

34. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

35. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел.