- •Основные цели и задачи мат физики. Предмет и методы ее исследования.
- •2. Постановка краевой задачи поперечных колебаний тонкой струны.
- •Постановка краевой задачи продольных колебаний стержня.
- •4. Постановка краевой задачи стационарного обтекания тела идеальной жидкостью.
- •5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде.
- •6. Классификация краевых задач мат физики. Общая постановка краевых задач мат физики. Понятие корректно и некорректно поставленной задачи.
- •7. Классификация диф ур-й 2 порядка с 2 независимыми переменными.
- •8. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического типа.
- •9. Приведение к каноническому виду уравнений параболического типа.
- •10. Приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа.
- •11. Уравнение Трикоми. Канонический вид ур-я Трикоми.
- •12. Классификация уравнений 2 порядка с числом независимых переменных больше 2.
- •13. Постановка задачи ш-л. Основные свойства собственных значений и собственных функций.
- •14. Основная идея и расчетная схема метода разделения переменных.
- •15. Задача ш-л для отрезка.
- •16. Задача ш-л для отрезка с периодическими граничными условиями.
- •17. Задача Штурма-Лиувиля для прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда.
- •18. Задача ш-л для круга.
- •19. Задача ш-л для кругового сектора.
- •20. Задача ш-л для кругового кольца.
- •21. Задача ш-л для цилиндра.
- •22. Задача ш-л для шара.
- •23. Задача ш-л для шарового слоя.
13. Постановка задачи ш-л. Основные свойства собственных значений и собственных функций.
Рассмотрим метод разделения переменных для решения уравнений мат физ. Суть его состоит в построении решения начально-краевой задачи в виде ряда по некоторой ортонормированной системе функций. Задача:
С граничным условием
И с начальным условием
Для построения системы функций, по которой удобно разлагать решение задачи (1)-(3) рассмотрим вспомогательную задачу:
Найти нетривиальные в Q решения уравнения
удовлетворяющие однородному граничному условию (2) и представимые в виде произведения
Подставляя (4) в (1), разделяя переменные, решая два полученных уравнения для и , получаем
,
Мы получили равенство, каждая часть которого является функцией только одной переменной, такое равенство справедливо, если:
Тогда из последнего равенства следуют уравнения:
Мы получили две задачи, каждая из которых каждая из которых зависит только от одной переменной. Учитывая граничное условие (2), получаем для определения функции задачу, которая называется задачей Штурма-Лиувилля:
λ - собственные значения оператора L в D с однородными граничными условиями; - ненулевые решения – есть собственные функции задачи (8).
Перечислим основные свойства собственных функций и собственных значений:
-
Существует бесконечное счётное множество собственных значений и собственных функций .
-
При увеличении номера n собственные значения неограниченно возрастают.
-
Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно-независимых собственных функций, то есть ранг всех собственных значений ограничен.
-
Будем считать, что в последовательности собственных значений каждое из них повторяется столько раз, каков его ранг.
-
При собственные значения задачи Дирихле () положительны, то есть при всех n.
-
Собственные функции ортогональны между собой в D с весом :
-
Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в D функция , удовлетворяющая однородному граничному условию в (8), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи
Это утверждение строго доказано и носит название теоремы разложения Стеклова.
Предположим, что задача Ш-Л (8) решена, получены - собственные значения и - собственные функции, удовлетворяющие условию ортонормированности
Уравнение для (7) при фиксированном есть обыкновенное Д.У. m-го порядка; общее решение его записывается в виде
где - произвольные постоянные, а - ФСР , , удовлетворяющая начальным условиям
Таким образом, решение вспомогательной задачи (3)-(5) задаётся бесконечной счётной системой решений:
где - собственная функция задачи Ш-Л (8), а задаётся выражением (12).
Решение исходной задачи (1)-(3) будем искать в виде разложения в ряд по системе функций (14):
Подставляя начальные условия (1), находим систему уравнений для определения коэффициентов
Умножая (16) на , интегрируя по D и используя ортонормированность собственных функций (11), получаем
ешение задачи (1)-(3) имеет вид (15), где коэффициенты определяются соотношениями (17).
Будем предполагать, что функции удовлетворяют условиям, при которых ряд (15) можно нужное число раз дифференцировать по M и t.