15. Задача ш-л для отрезка.

В наиболее общей постановке задача Ш-Л для оператора Лапласа имеет вид:

Здесь D – область определения уравнения (1), S – граница области D, одновременно. Рассмотрим общую постановку задачи для отрезка. Найти собственные функции уравнения

,

и собственные значения при следующих граничных условиях:

Знак «минус» в (3а) связан с тем, что внешняя нормаль к границе S для отрезка при направлена в отрицательную сторону.

Обозначим через и фундаментальную систему решений уравнений (2). Общее решение имеет вид:

Подставим решение (4) в граничные условия (3а) и (3b):

Выражение (5) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных и . В случае, если эта система имеет единственное решение, оно равно: . Это решение является тривиальным и не представляет никакого интереса с физической точки зрения. По этой причине потребуем, чтобы система (48) имела множество решений. Это возможно в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов системы (5), был равен нулю:

Уравнение (6) записано относительно λ и называется дисперсионным уравнением. Система решений уравнения (6) образует спектр собственных значений задачи Ш-Л.

Найдем собственные функции задачи Ш-Л. В силу равенства нулю определителя (6) уравнения системы (5) являются равносильными. Выберем, первое уравнение системы (5). Его решение имеет вид:

Подставляя полученный результат в (4), имеем:

Функция (7) является собственной функцией задачи Ш-Л для отрезка.

16. Задача ш-л для отрезка с периодическими граничными условиями.

Рассмотрим задачу

Общее решение уравнения имеет вид:

Подставим общее решение в граничные условия

Пользуясь линейной независимостью функций и и применяя известные тригонометрические формулы, получим систему уравнений

Эта система уравнений имеет ненулевое решение при условии

или ;

Из последнего соотношения находим спектр собственных значений

При найденных система, полученная из граничных условий, будет иметь два линейно независимых ненулевых решения:

Находим собственные функции:

17. Задача Штурма-Лиувиля для прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда.

Прям-к. Найти собственные функции уравнения

с граничными условиями

Здесь и – постоянные, причем

Для решения задачи (1) – (2) воспользуемся методом разделения переменных. Представим функцию u в виде произведения:

Подставляя (3) и выполняя преобразования, запишем:

Граничные условия (2) принимают вид:

Соотношения (4) – (5) можно рассматривать как две задачи Ш-Л для отрезка.

Тогда собственные значения задачи Ш-Л для прямоугольника есть сумма собственных значений и соответствующих задач для отрезка, собственная функция задачи Ш-Л для прямоугольника есть произведения соответствующих собственных функций для отрезка:

Прямоугольного парал-да. Найти решение уравнения

с граничными условиями

После первого разделения переменных задача (7) – (8) сведется к задачам Ш-Л для отрезка и прямоугольника. Соб ф и соб знач задачи для прям-ого парал-да имеют вид

Здесь , – собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных задач Ш-Л по каждой переменной.