18. Задача ш-л для круга.
Найти
решения уравнения
с граничным условием
Введем
полярную систему координат
.
Раскрывая лапласиан, запишем
Подставляя
(4) в () и поделив обе части полученного
уравнения на
,
получим:
Уравнение (5) эквивалентно системе обыкновенных Д.У.:
Подставляя (4) в граничное условие (2), и сокращая Φ, имеем
Т.о, задачу (1) – (2) можно представить в
виде двух задач для
и
:
Начнем решение с задачи (9), представляющей
задачу Ш-Л для отрезка с периодическими
граничными условиями. Соб знач этой
задачи равны:
а
собственные функции –
Перейдем к решению задачи (8) с учетом
значения
;
выполняя замену
и выполняя преобразования, имеем:
Уравнение (12) представляет собой уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид:
Тогда
При
функция Неймана
обращается в бесконечность. По этой
причине потребуем равенства нулю
коэффициента
:
Для
определения собственных значений
подставим функцию (14) в граничное
условие системы (8). Имеем:
Полученное
выражение представляет собой
трансцендентное уравнение относительно
λ. Пусть соб знач имеют вид
Тогда
соб ф имеют вид:
.
Подставляя полученный результат имеем
соб ф :
19. Задача ш-л для кругового сектора.
Пусть D – круговой
сектор:
,
;
C – граница области
D.
Задача Ш-Л имеет вид:
Представляя функцию u в виде произведения
и
разделяя переменные, получим две краевые
задачи относительно переменных r
и
:
Вторая краевая задача представляет
задачу Ш-Л для отрезка. Ее общее решение
имеет вид:
Решением (6) являются собственные значения
.
Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
для отрезка имеют вид:
По
аналогии с задачей для круга, запишем
радиальную функцию
:
Подставим (8) в (6) для R:
(9) – уравнение для нахождения с.з.
(10). Подставим (8) и (7) в (3), получим
с.ф.
20. Задача ш-л для кругового кольца.
Пусть
D – круговое кольцо,
,
.
Задача Ш-Л для этой системы имеет вид:
Представляя искомое решение в виде
произведения
и
разделяя переменные в (1) – (2), получим
две краевые задачи для радиальной
и угловой
функций:
Вторая
краевая задача полностью совпадает с
задачей для круга. Ее собственные
значения равны
,
а собственные функции имеют вид: 
Решение
уравнения для
в первой краевой задаче имеет вид:
Поскольку точка с
не входит в рассматриваемую область D,
равенства нулю коэффициента при функции
Неймана не требуется. Подставим полученный
результат в граничные условия и запишем
следующую систему:
Потребуем
равенства нулю определителя, составленного
из коэффициентов при
и
:
Последнее
выражение представляет собой
трансцендентное уравнение относительно
.
Обозначим его корни через
.
Итак, семейство
образует
спектр собственных значений задачи Ш-Л
для кругового кольца. Для определения
собственных функций найдем связь между
коэффициентами
и
.
Из определителя видно:
Тогда радиальная функция
имеет вид:
И окончательно получаем следующий вид собственных функций задачи Ш-Л для кругового кольца:
