5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде.

Поставим задачу исследования переноса тепла в неподвижной среде, занимающей ограниченную область G с границей Γ, если задана мощность источников , а также распределение температуры в объеме G в начальный момент времени.

Рассмотрим следующие условия на границе Γ:

а) на границе области поддерживается заданная температура;

б) на границе области поддерживается заданный тепловой поток;

в) передача тепла через границу происходит по закону Ньютона;

г) передача энергии с поверхности тела осуществляется посредством излучения;

д) рассматриваются температурные поля в многослойных телах и оболочках.

Рассмотрим одномерный процесс передачи теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала.

Плотность материала, его удельную массовую теплоемкость с и коэффициент теплопроводности k в общем случае неоднородной среды будем считать зависящими только от одной пространственной координаты х.

При построении мат мод процесса будем предполагать, что среда неподвижна, а изменение объема материала, связанное с изменением температуры, пренебрежимо мало. Тогда можно считать, что процесс теплопроводности не связан с совершением механической работы.

В рассматриваемом слое материала в качестве термодинамической системы выделим объем G в виде цилиндра с основанием, перпендикулярным Ох, и площадью . При этом ось цилиндра параллельна Ох. Положение оснований цилиндра определяется координатами

Из первого закона термодинамики, записанного для G, следует:

Где - изменение внутренней энергии системы в единицу времени, - количество теплоты, отдаваемое через поверхность цилиндра за единицу времени, - количество выделенной источником теплоты в единицу времени. Внутреннюю энергию системы найдем интегрированием объемной плотности внутренней энергии по объему цилиндра.

Найдем тепловой поток через всю поверхность S интегрируя по поверхности S плотность теплового потока Q, где n – единичная нормаль к S:

Согласно физическому закону Фурье, при передаче теплоты теплопроводностью

Т.к. в рассматриваемом случае вектор плотности теплового потока имеет лишь одну составляющую , то тепловой поток от выделенного объема проходит лишь через основание цилиндра, причем

Внутри выделенного объема вследствие разных причин может выделяться или поглощаться теплота. Если под понимать объемную плотность тепловых источников, то за единицу времени в рассматриваемом объеме выделится () или поглотится () количество теплоты

Подставим (2)-(4) в (1):

В силу произвольности выбора координат и оснований цилиндра равенство нулю интеграла в уравнении (5) возможно лишь при равенстве нулю подынтегральной функции. Таким образом:

Заметим, что объемная плотность внутренней энергии рассматриваемой несжимаемой среды зависит от температуры, а производная , определяет объемную теплоемкость материала. Поэтому

Тогда из выражения (6) получаем дифференциальное уравнение:

Для однородного материала с независящими от температуры теплофизическими характеристиками уравнение (7) можно записать в виде

где - постоянная, которую называют коэффициентом температуропроводности материала; .

Уравнения (7) и (8) являются Д.У. в частных производных параболического типа.

Чтобы с помощью уравнения теплопроводности описать эволюцию температурного поля в теле, необходимо задать начальное условие. Для рассматриваемого одномерного процесса начальное условие задается в виде известной зависимости . Граничные условия:

а) Если на границе Г области G поддерживается заданная температура, то

Здесь - известная функция точки Р поверхности S и времени .

б) Граничное условие второго рода, когда на поверхности S тела задают тепловой поток , где - вектор плотности теплового потока, a - единичная внешняя нормаль к поверхности S. По закону Фурье Тогда:

где - известная функция.

В случае теплоизолированной поверхности и мы имеем однородное условие на всей поверхности S.

в) граничное условие третьего рода описывает тепловой режим на поверхности тела, соответствующий конвективному теплообмену по закону Ньютона с окружающей внешней средой, имеющей температуру . По закону Ньютона плотность теплового потока на границе тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, т.е. .

Коэффициент теплообмена зависит от свойств среды, а в общем случае и от разности температур . Граничное условие третьего рода дает связь между температурой и ее нормальной производной в любой точке поверхности тела

где

г) нелинейное граничное условие. Если основным механизмом уноса энергии с поверхности тела является излучение, то по закону Стефана - Больцмана

Здесь - степень черноты материала, которая в общем случае зависит от температуры; - постоянная Стефана- Больцмана.

д) При описании температурных полей в многослойных телах и оболочках на поверхности контакта двух тел используют граничные условия сопряжения (граничные условия четвертого рода). Для идеального теплового контакта эти условия

означают равенство температур и тепловых потоков на контактной поверхности S.

Для неидеального теплового контакта с термическим сопротивлением R на поверхности контакта тел имеет место равенство тепловых потоков, но появляется пропорциональная им разность температур тел, т.е. выполняется условие