- •Основные цели и задачи мат физики. Предмет и методы ее исследования.
- •2. Постановка краевой задачи поперечных колебаний тонкой струны.
- •Постановка краевой задачи продольных колебаний стержня.
- •4. Постановка краевой задачи стационарного обтекания тела идеальной жидкостью.
- •5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде.
- •6. Классификация краевых задач мат физики. Общая постановка краевых задач мат физики. Понятие корректно и некорректно поставленной задачи.
- •7. Классификация диф ур-й 2 порядка с 2 независимыми переменными.
- •8. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического типа.
- •9. Приведение к каноническому виду уравнений параболического типа.
- •10. Приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа.
- •11. Уравнение Трикоми. Канонический вид ур-я Трикоми.
- •12. Классификация уравнений 2 порядка с числом независимых переменных больше 2.
- •13. Постановка задачи ш-л. Основные свойства собственных значений и собственных функций.
- •14. Основная идея и расчетная схема метода разделения переменных.
- •15. Задача ш-л для отрезка.
- •16. Задача ш-л для отрезка с периодическими граничными условиями.
- •17. Задача Штурма-Лиувиля для прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда.
- •18. Задача ш-л для круга.
- •19. Задача ш-л для кругового сектора.
- •20. Задача ш-л для кругового кольца.
- •21. Задача ш-л для цилиндра.
- •22. Задача ш-л для шара.
- •23. Задача ш-л для шарового слоя.
6. Классификация краевых задач мат физики. Общая постановка краевых задач мат физики. Понятие корректно и некорректно поставленной задачи.
Уравнение вида
или, в более общем случае
описывает процессы колебаний.
Уравнение
или, в более общем случае
описывает процессы теплопередачи и диффузии.
Уравнение или
описывает стационарные процессы. Уравнение (1) относится к уравнениям гиперболического типа, (2) – к уравнениям параболического типа, уравнение (3) – к уравнениям эллиптического типа.
В общем случае эти уравнения имеют бесконечное множество решений. Поэтому в силу единственности на уравнение (3) необходимо наложить граничные условия, а на уравнения (1), (2) – граничные и начальные условия. Рассмотрим область определения уравнений (1) – (3).
Пусть – пространство переменных , – область пространства, занимаемого исследуемой физической системой. Область G является областью определения уравнения (3) в случае стационарных процессов.
В случае нестационарных процессов, описываемых уравнениями (1) и (2), областью определения этих уравнений для систем с твердыми границами является цилиндр, опирающийся на область G, образующие которого направлены вдоль оси времени.
Для систем с подвижными (свободными) границами ситуация усложняется, поскольку с течением времени область G может деформироваться. Как правило, деформация области G описывается отдельными уравнениями, на которые накладываются дополнительные начальные условия.
Под начальными условиями понимают задание состояния физической системы в каждой точке области G в некоторый определенный момент времени .
Под граничными условиями понимают условия на границе области G. Исходя из требования единственности число начальных условий равно порядку дифференцирования по времени, а число граничных условий, равно сумме порядков дифференцирования по координатам.
Вместе начальные и граничные условия образуют краевые условия, а задача решения уравнений с наложенными на него краевыми условиями называется краевой задачей.
Различают следующие основные типы краевых задач.
а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область G совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются условия на границе S. Начальные условия отсутствуют.
В общем случае краевая задача для уравнения эллиптического типа состоит в определении функции , удовлетворяющей в области G уравнению (3) и граничному условию на S вида:
Здесь – заданные на S кусочно-непрерывные функции, причем .
Выделяют следующие типы граничных условий:
-
граничные условия I-го рода ()
-
граничные условия II-го рода ()
-
граничные условия III-го рода ()
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II, и III рода.
Для уравнения Лапласа и Пуассона краевая задача I рода
называется задачей Дирихле, а краевая задача II рода
– задачей Неймана.
в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: область G не совпадает с пространством , задаются и начальные, и граничные условия.
В большинстве случаев на постановку краевых задач накладываются следующие естественные требования:
-
решение должно существовать в некотором классе функций ;
-
решение должно быть единственным в некотором классе функций ;
-
решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных параметров, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректной по Адамару, а множество функций называется классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из перечисленных условий, называется некорректно поставленной. К некорректной постановке часто приводят обратные задачи математической физики.