7. Классификация диф ур-й 2 порядка с 2 независимыми переменными.
Важную роль при постановке краевой задачи играет тип Д.У. относительно искомой функции. В самом общем случае такие уравнения имеют вид:
где
- независимые переменные,
- искомая функция,
- заданная функция.
В мат физ мат мод физических явлений
зачастую представляются линейными
уравнениями относительно старших
производных, первых производных и самой
функции
.
Такое уравнение имеет вид:
Рассмотрим
классификацию линейных уравнений для
случая двух независимых переменных.
Пусть функция
удовлетворяет уравнению
которое
линейно только по отношению к старшим
производным (такие уравнения называются
квазилинейными). Где
- действительные функции x
и y, определённые в D,
и хотя бы одна из них не равна нулю.
Уравнение (1) называется линейным, если оно может быть представлено в виде:
где
могут зависеть только от x
и y. Если коэффициенты
в (3) не зависят от x и
y, то уравнение
называется линейным уравнением с
постоянными коэффициентами. Если
d=0 уравнение (3)
называют однородным.
Введём новые независимые переменные
где
-
дважды непрерывно дифференцируемы и
,
.
Для того чтобы преобразование (4) осуществляло взаимнооднозначное отображение области D на область D’ необходимо неравенство нулю якобиана этого преобразования
Преобразование (4) задано пока в общем
виде. Выберем его так, чтобы в новых
переменных уравнение (3) имело наиболее
простой вид. С этой целью введём новую
функцию
такую, чтобы
Вычислим производные по x, y :
Подставляя эти выражения в (3), получим это уравнение в новых переменных
где
а
- функция, не зависящая от старших
производных.
Прямой проверкой можно показать справедливость тождества
На основе тождества (10) можно ввести следующую классификацию уравнений типа (1), линейных относительно старших производных:
-
Если в точке
имеет место неравенство
то уравнение (3) называют уравнением
гиперболического типа в точке
.
-
Если в точке
имеет место неравенство
то уравнение (3) называют уравнением
эллиптического типа в точке
.
-
Если в точке
имеет место равенство
то уравнение (3) называют уравнением
параболического типа в точке
.
При любой невырожденной замене переменных тип уравнения не меняется, то есть он является инвариантом преобразования переменных.
Если тип уравнения сохраняется во всех точках области задания D, то уравнение называют уравнением данного типа во всей области D.
Если в разных точках области задания D уравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнением смешанного типа в области D. В рассмотренном нами случае 2 переменных удалось выявить три различных типа уравнений в частных производных второго порядка. При этом:
-
уравнения гиперболического типа являются математической моделью пространственно–одномерных колебаний любой физической природы;
-
уравнения параболического типа служат математической моделью явлений переноса (вещества, тепла, импульса, заряда и др.);
-
уравнения эллиптического типа, если переменные
и
- это пространственные переменные,
служат математической моделью
стационарных явлений.