3. Постановка краевой задачи продольных колебаний стержня.

Рассмотрим задачу о малых продольных колебаниях стержня длины . В момент времени его поперечным сечениям сообщены малые продольные смещения и скорости. Поставим задачу исследования положения всех точек стержня в момент времени . Будем при этом предполагать, что все точки произвольного сечения колеблются одинаково. Рассмотрим следующие случаи:

а) концы стержня жестко закреплены;

б) концы стержня движутся в предельном направлении по заданным законам.

в) концы стержня свободны;

г) концы стержня упруго закреплены.

Пусть ось Ox совпадает с направлением оси стержня. Выберем некоторое сечение стержня , смещение которого обозначим через . Рассмотрим также сечение , расположенное от на расстоянии . Смещение сечения равно:

Тогда относительное удлинение участка стержня, расположенного между этими сечениями равно: Тогда по закону Гука, напряжение в сечении стержня:

где E – модуль упругости, а сила упругости

Здесь s – площадь поперечного сечения. Найдем силу, действующую на участок :

Эти силы направлены в противоположные стороны и «растягивают» участок стержня между сечениями и . Но т.к. расстояние мало, можно приложить их в одну точку и вычислить равнодействующую, которая вызывает движение участка стержня:

В общем случае на стержень также действуют внешние силы. Пусть – объемная плотность внешних сил. Тогда

На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения участка стержня между сечениями и :

Здесь – масса участка стержня между сечениями и . Пусть – объемная плотность стержня. Тогда , что позволяет записать:

Если , то

Здесь , . Уравнения (6) и (7) являются уравнениями колебаний. На уравнения (6) и (7) накладываются начальные условия:

Рассмотрим граничные условия.

а) В случае жесткого закрепления концы стержня не отклоняются, следовательно:

б) Если законы движения концов стержня заданы, то

Потребуем непротиворечивости начальных и граничных условий. Запишем:

в) Если концы стержня свободны, то упругие силы

на границах равны нулю, что позволяет записать:

г) Если концы стержня закреплены упруго, то упругие силы на границах пропорциональны смещению:

откуда следует:

Здесь , .

Итак, продольные колебания стержня описываются уравнением (6), (7) с начальными условиями (8) и граничными условиями (9)-(13).

4. Постановка краевой задачи стационарного обтекания тела идеальной жидкостью.

Рассмотрим движение жидкости, пренебрегая вязкими силами (идеальная жидкость). Пусть – вектор скорости движения жидкости, – плотность жидкости, – мощность источников. Выделим в жидкости произвольный объем Ω, ограниченный поверхностью S.

Изменение массы жидкости в объеме Ω в единицу времени равно

По закону сохранения массы

где – количество жидкости, выделенной источниками; – количество жидкости, вытекающей из объема Ω через поверхность S:

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим:

Подставляя (3), (4), (1) в (2), имеем:

Определенный интеграл по конечному объему может быть равен нулю только в том случае, когда подынтегральное выражение равно нулю. Имеем:

Уравнение (6) получило название уравнения неразрывности.

Рассмотрим задачу о стационарном обтекании твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной идеальной жидкости при отсутствии источников. Скорость жидкости на бесконечности равна .

Поскольку жидкость несжимаемая, то ее плотность остается постоянной: . Мощность источников равна нулю. Тогда уравнение принимает вид:

Также учтем, что поток жидкости остается потенциальным. Тогда запишем:

Подставим (7) в (8): и перепишем в виде:

здесь – потенциал скорости. Сформулируем граничные условия, накладываемые на (9).

1) условие на бесконечности и записывается в виде:

2) записывается для поверхности S и характеризует ее непроницаемость:

. Поскольку имеем: