- •Основные цели и задачи мат физики. Предмет и методы ее исследования.
- •2. Постановка краевой задачи поперечных колебаний тонкой струны.
- •Постановка краевой задачи продольных колебаний стержня.
- •4. Постановка краевой задачи стационарного обтекания тела идеальной жидкостью.
- •5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде.
- •6. Классификация краевых задач мат физики. Общая постановка краевых задач мат физики. Понятие корректно и некорректно поставленной задачи.
- •7. Классификация диф ур-й 2 порядка с 2 независимыми переменными.
- •8. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического типа.
- •9. Приведение к каноническому виду уравнений параболического типа.
- •10. Приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа.
- •11. Уравнение Трикоми. Канонический вид ур-я Трикоми.
- •12. Классификация уравнений 2 порядка с числом независимых переменных больше 2.
- •13. Постановка задачи ш-л. Основные свойства собственных значений и собственных функций.
- •14. Основная идея и расчетная схема метода разделения переменных.
- •15. Задача ш-л для отрезка.
- •16. Задача ш-л для отрезка с периодическими граничными условиями.
- •17. Задача Штурма-Лиувиля для прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда.
- •18. Задача ш-л для круга.
- •19. Задача ш-л для кругового сектора.
- •20. Задача ш-л для кругового кольца.
- •21. Задача ш-л для цилиндра.
- •22. Задача ш-л для шара.
- •23. Задача ш-л для шарового слоя.
21. Задача ш-л для цилиндра.
Пусть D – цилиндр: , , . Найдем собственные значения и собственные функции уравнения удовлетворяющие граничным условиям:
Введем цилиндрическую систему координат. Тогда уравнение (1) принимает вид:
Выполним разделение переменных. Пусть
Подставляя (4) в (3), имеем:
Разделяя переменные в (5), получим две задачи Ш-Л:
Задача (6) представляет собой задачу Ш-Л для круга с соб знач
а задача (7) – есть задача Ш-Л для отрезка, решение которой имеет вид:
получим следующие выражения для собственных функций:
и собственных значений :
22. Задача ш-л для шара.
Найдем собственные функции и собственные значения уравнения
в , (1)
удовлетворяющие граничным условиям
Вводя сферическую систему координат, перепишем уравнение (2) в виде:
Отделим вначале радиальную переменную. Пусть
Подставляя полученное выражение в (4) и умножив обе части на , имеем:
]Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений:
В результате имеем две задачи Ш-Л:
Рассмотрим вначале задачу (5). Разделяя переменные, имеем:
Подставляя (7) в (6), беря соответствующие производные и умножая на :
В результате получим:
Из первой задачи (9) следует
Рассмотрим вторую задачу (10).
Произведем замену :
Уравнение (12) совпадает с уравнением присоединенных функций Лежандра. Его решениями являются присоединенные полиномы Лежандра а собственные значения:
Решением задачи (6) являются, так называемые сферические функции:
Перейдем к решению задачи Ш-Л для радиальной функции.
Выполняя замену , представим задачу (5) в виде
Уравнение (14) представляет собой уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид:
Учитывая требования конечности искомого решения и поведения функции Неймана в нуле, имеем .⇒
Подставляя полученное выражение в (15), имеем дисперсионное уравнение:
Решение этого уравнения имеет вид
и образует спектр собственных значений задачи Ш-Л для шара. Для собственных функций задачи (5) запишем:
Учитывая (18), и (13), получим выражение собственных функций шара.
23. Задача ш-л для шарового слоя.
Рассмотрим задачу Ш-Л в шаровом слое , , . Для этого найдем собственные функции и собственные значения уравнения
удовлетворяющие граничным условиям
Разделяя переменные в (1) и (2), получим две краевые задачи
Решение второй задачи Ш-Л (4) являются сферические функции . Рассмотрим первую задачу для радиальной функции. Выполняя замену , приходим к задаче
Общее решение уравнения (5) имеет вид:
Подставляя выражение (6) в (5), получим систему уравнений относительно и :
Как и ранее, потребуем равенство нулю определителя построенной системы:
Решение дисперсионного уравнения (8) образует спектр собственных значений задачи Ш-Л для шарового слоя:
Т.к. функции Бесселя 1-го и 2-го рода не являются взаимно ортогональными, найдем связь между коэффициентами и . Из первого уравнения системы получим:
Т. к. задача Ш-Л решается с точностью до постоянного коэффициента, то
, тогда выражение для с.ф. R примет вид:
Тогда с.ф.: