11. Уравнение Трикоми. Канонический вид ур-я Трикоми.
В качестве примера уравнения смешанного типа рассмотрим уравнение Трикоми:
Приведем это уравнение к каноническому виду, а также найдем для него области эллиптичности, гиперболичности и параболичности. Выпишем коэффициенты уравнения:
Тогда
.
Следовательно, при
уравнение (1) является уравнением
эллиптического типа, а при
– уравнением гиперболического типа.
Область параболичности представляет
собой пустое множество.
Характеристическое уравнение для (1) имеет вид
Тогда
Пусть
(гиперболическое). Тогда
Т.о. , характеристиками уравнения Трикоми являются кривые
Выберем в качестве новых переменных:
Дифференцируя:
и подставляя результат в
,
находим:
Подставляя полученные выражения в (1), запишем:
Приводя подобные слагаемые, имеем:
Выразим y через ξ и η.
Тогда имеем:
или, после упрощения,
Уравнение (3) является канонической формой уравнения Трикоми в области гиперболичности.
Пусть
(эллиптическое). Тогда из характеристического
уравнения следует:
Характеристиками уравнения Трикоми в этом случае являются кривые
Выберем в качестве новых переменных
Тогда
Выражения для
и
принимают вид:
Подставляя полученные соотношения в (1), имеем:
Произведем необходимые упрощения
и перейдем к новым переменным:
Уравнение (5) есть канонический вид уравнения Трикоми в области эллиптичности.
Уравнение Трикоми представляет интерес для газовой динамики, причем, в области гиперболичности оно соответствует сверхзвуковому движению, а в области эллиптичности – дозвуковому движению.
12. Классификация уравнений 2 порядка с числом независимых переменных больше 2.
Обобщим полученные результаты на линейное Д.У. 2-го порядка со многими независимыми переменными:
Здесь
– функции
.
Введем новые переменные:
Тогда
Подставляя полученные выражения (3) в (1), имеем:
Здесь
Рассмотрим квадратичную форму
коэффициенты
которой равны коэффициентам
исходного уравнения в некоторой точке
.
Произведем над переменными y
линейное преобразование
в результате которого получим новое выражение для квадратичной формы:
Сравнивая (7) и (5), можно убедиться, что коэффициенты уравнения (1) при старшей производной изменяются по тому же закону, что и законы квадратичной формы.
Как известно, матрицу
квадратичной формы всегда можно привести
к диагональному виду:
Причем
При этом число положительных, отрицательных
и равных нулю коэффициентов
в каноническом виде квадратичной формы
инвариантно относительно линейного
преобразования.
Назовем уравнение (1) уравнением
эллиптического типа в точке
,
если все n коэффициентов
имеют один знак; уравнением
гиперболического типа (или нормально
гиперболического типа), если
коэффициентов
имеют одинаковый знак, а один коэффициент
– противоположный знак; уравнением
ультрагиперболического типа, если
среди
имеется m коэффициентов
одного знака и
- противоположного знака (причем,
и
);
уравнением параболического типа,
если хотя бы один из коэффициентов
равен нулю.
Выбирая независимые переменные
таким образом, чтобы коэффициенты
преобразования
в точке
приводили квадратичную форму (6) к
каноническому виду, получаем одну из
следующих канонических форм уравнения
(1) в точке
:
Т.о. если уравнение (1) в некоторой точке M принадлежит к определенному типу, то его можно привести к соответствующему каноническому виду в этой точке.
Для приведения уравнения в некоторой
области к каноническому виду на функции
следует наложить ограничения вида:
.
Число таких условий равно
и при
превосходит число определяемых функций
.
Для
недиагональные элементы
,
можно обратить в нуль, но диагональные
элементы окажутся при этом различными.
Итак при
уравнение нельзя привести к каноническому
виду в некоторой окрестности точки M.
При
можно обратить в нуль единственный
недиагональный коэффициент и выполнить
условие равенства двух диагональных
коэффициентов.
Если коэффициенты уравнения (1) постоянны, то приводя (1) к каноническому виду в точке M, мы получим уравнение, приведенное к каноническому виду во всей области определения уравнения.