7. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов

В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости, Например, исследуется зависимость перемещения S равноускоренного движения от времени движения. Теоретическая зависимость имеет вид

, (12)

где а – ускорение грузов.

Если по экспериментальным точкам построить график зависимости S от t, представляющий собой восходящую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это парабола и именно та парабола второго прядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т.к. похожие графики могут иметь другие закономерности. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Для того, чтобы воспользоваться этим свойством в проверяемой закономерности необходимо выявить в ней такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются S и t². Следовательно, для проверки справедливости этого соотношения имеет смысл строить график экспериментальной зависимости S от t².

Рис. 5.

Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой можно записать в виде

y = kx +b. (13)

Угловой коэффициент k:

, (14)

где x – произвольный отрезок на оси ОХ – приращение аргумента, y – соответствующее приращение функции. Величина b может быть определена как величина отрезка, отсекаемого графиком на оси ОY. В нашем случае знание коэффициента k позволяет определить ускорение движения: a = 2k.

При нахождении величин k и b из графика к погрешностям измерения добавляется погрешность построения графика. Существует точный метод нахождения величин k и b – метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет провести прямую так, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика минимальна. Формулы для определения величин k и b имеют вид:

, . (15)

Зная k и b и задавшись какими-либо значениями x₁ и x₂, можно по формуле (13) вычислить y₁ и y₂. Затем через две точки с координатами (x₁,y₁) и (x₂,y₂) проводится искомая линия.

Теория позволяет также найти погрешности коэффициентов k и b. Сначала вычисляют величины:

,. (16)

Затем вычисляют коэффициент линейной корреляции:

. (17)

Это число принимает значения между – 1 и + 1. Если r близко к  1, то точки лежат вблизи некоторой прямой линии; если r близко к 0, то точки не коррелированны и либо незначительно, либо совсем не группируются около прямой линии.

Вычисление абсолютных погрешностей коэффициентов k и b выполняется по формулам:

, . (18)

8. Основные требования, предъявляемые к студенту при выполнении эксперимента и обработке результатов измерений

Любой эксперимент – даже учебная лабораторная работа – должен вестись сознательно на основе ясного понимания поставленной задачи. При подготовке к работе нужно четко усвоить: какие физические явления будут исследоваться; какие величины следует измерить; на какой теоретической основе базируется метод измерения данной величины; каков принцип действия данной установки в целом и каждого из применяемых приборов в отдельности. Только после этого можно приступать к измерениям (и монтажу схемы установки, если это необходимо).