Порядок выполнения работы

1. Перед началом работы законспектируйте краткую теорию.

2. Внимательно изучите лабораторную установку. Сделайте схематический рисунок ее с указанием основных элементов.

3. Установить рамку так, чтобы в положении равновесия указатель рамки находился между окнами фотодатчика 2 (см. рис. 40). Установить электромагнит в положение, приблизительно соответствующее 40° по угловой шкале. Включить электропитание нажатием кнопки "СЕТЬ". Затем повернуть рамку так, чтобы она удерживалась в исходном положении электромагнитом. Нажать кнопку "ПУСК".

4. Измерить длительность времени t для числа полных колебаний рамки N = 20. Повторить опыт 4-5 раз. Определить средний период колебаний рамки Т.

5. Установить два груза 3 на планку. Определить период колебаний Т₁ рамки с грузами.

6. Определить момент инерции рамки по формуле (14.12), где , m – масса груза, r – радиус груза, а – расстояние от оси вращения рамки до оси грузов.

7. Снять грузы, установить исследуемый образец 4 в рамке и закрепить специальными винтами так, чтобы одна из его геометрических осей (по указанию преподавателя) совпадала с осью рамки. Определить период колебаний Т₂ рамки с образцом. Определить момент инерции исследуемого образца по формуле:

. (14.14)

Рассчитать теоретический момент инерции образца

Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютно твердым телом?

2. Сформулируйте основной закон динамики твердого тела.

3. Дайте определение момента инерции твердого тела.

4. Что называется тензором инерции твердого тела?

5. Что такое эллипсоид инерции твердого тела? Что называют главными осями твердого тела?

6. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

7. Опишите экспериментальную установку и методику определения момента инерции твердого тела, используемые в работе.

Лабораторная работа № 15 изучение плоского движения твердого тела на примере маятника максвелла

Цель работы – изучение основных кинематических характеристик, описывающих движение абсолютно твёрдого тела, и измерение этих характеристик для тела, совершающего сложное (плоское) движение.

Теоретическая часть

Из определения механического движения как изменения взаимного расположения тел в пространстве следует, что для постановки и решения задач кинематики и динамики тела на математическом языке необходимо задать систему отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с некоторым телом отсчета. Кроме того, при решении физических задач используются модели движущегося реального тела. Материальная точка (МТ) – модель такого объекта, который можно рассматривать как точку, имеющую массу, но размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Положение МТ в пространственной системе отсчета задается радиус-вектором – вектором, проведенным из начала координат в данную точку А. При движении МТ ее радиус-вектор меняется. Линия в пространстве, по которой перемещается конец радиуса вектора МТ, называется траекторией. Функция , выражающая изменение радиус-вектора во времени, называется законом или кинематическим уравнением движения. Закон движения можно записать как в векторной, так и в координатной форме

или (15.1)

Знание закона движения МТ позволяет определить вектор перемещения , пройденный путь, уравнение траектории, радиус кривизны траектории скорость, ускорение и другие характеристики движения.

В частности, скорость движения МТ – величина, определяющая быстроту изменения координат МТ, может быть представлена в виде векторной и координатных функций от времени по аналогии с соотношениями (15.1)

(15.2)

Ускорение движения МТ – величина, определяющая быстроту изменения скорости движения МТ, может быть задана функциями

(15.3)

Например, закон прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси Oх из точки х₀ с начальной скоростью υ_0х имеет вид

. (15.4)

После дифференцирования этой формулы по времени получается формула для расчета проекции скорости

. (15.5)

Рис. 41

При движении МТ по окружности с центром в начале координат ее радиус-вектор меняется только по направлению, а скорость может меняться и по величине и по направлению. Обычно движение МТ по окружности удобнее задавать в полярных координатах (рис. 41). В этом случае положение точки А определяется ее полярным радиусом r (модулем радиус-вектора) и величиной полярного угла . Изменение полярного угла в процессе вращательного движения МТ определяют как угловой путь

, (15.6)

пройденный МТ от начального полярного угла ₀.

Угловая скорость вращательного движения МТ – величина, определяющая быстроту изменения полярного угла, равна

. (15.7)

Угловое ускорение вращательного движения МТ – величина, определяющая быстроту изменения угловой скорости, равная

. (15.8)

Эти характеристики вращательного движения МТ имеют смысл, аналогичный смыслу соответствующих характеристик поступательного движения

и .

При движении МТ по окружности радиусом r между скоростью и угловой скоростью имеется взаимосвязь

. (15.9)

Вектор ускорения МТ можно представить как сумму двух составляющих

,

где

(15.10)

– тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории и совпадающее по направлению со скоростью, которое характеризует изменение скорости по абсолютной величине, а

(15.11)

– нормальное ускорение, определяющее изменение скорости по направлению, которое направлено к оси вращения перпендикулярно к вектору скорости.

Абсолютно твердое тело (АТТ) – модель реального тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. АТТ рассматривается как система жестко закрепленных материальных точек в задачах механики объектов, которые нельзя рассматривать как МТ. Движение АТТ является сложным. Его можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Рис. 42

Поступательным движением АТТ называется такое движение, при котором прямая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе (рис. 42). Для описания поступательного движения АТТ достаточно определить движение одной из точек тела. Такой точкой может являться центр масс (центр инерции) тела. Если АТТ представить как систему материальных точек с массами m_i, то радиус-вектор центра масс находят по формуле

, (15.12)

где — радиус-векторы соответствующих МТ.

Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Центр масс АТТ движется так, как двигалась бы под действием приложенных к телу внешних сил материальная точка с массой, равной сумме масс всех МТ, из которых состоит тело

.

Рис. 43

При вращательном движении АТТ относительно оси все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения (рис. 43). Для описания вращательного движения нужно задать положение оси вращения в выбранной системе отсчета и определить угловую скорость вращения тела.

Динамика вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси (например, оси Оz, проходящей через его центр масс) описывается аналогичным уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения АТТ. В проекции на ось вращения оно имеет вид

,

где I_z – момент инерции АТТ относительно оси вращения Оz, β_z – угловое ускорение вращательного движения АТТ вокруг оси Оz, N_{i,z,внешн} – моменты внешних сил относительно оси вращения. Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг оси. Его можно определить по формуле

,

Рис. 44

где R – плечо силы относительно оси Оz (рис. 44), – составляющая силы, направленная по касательной к окружности радиуса R. Если образует с направлением оси z правовинтовую систему, то N_z имеет положительный знак.

Сопоставив формулы и динамические величины вращательного и поступательного движения, приведенные в таблице, можно сделать вывод, что во всех случаях наблюдается соответствие между моментом инерции и массой. Поэтому можно сделать заключение, что момент инерции характеризует инертные свойства тела во вращательном движении, роль линейного ускорения выполняет угловое ускорение, роль силы – момент силы.

Таблица. Характеристики движения твердого тела

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса (инерция) – m	Момент инерции – I
Сила –	Момент силы –
Проекция импульса –	Проекция момента импульса* –
Уравнение динамики (проекция)
Кинетическая энергия

* ω_z – угловая скорость вращательного движения АТТ вокруг оси Оz.

Величина момента инерции твердого тела зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Задача расчета момента инерции сводится к суммированию в случае дискретного распределения массы или к интегрированию при непрерывном распределении массы в объеме V по формулам

или ,

где – радиус вращения массы m_i вокруг оси Оz, r – плотность материала, – радиус вращения элемента объема dV, имеющего массу . При расчете моментов инерции тел I_z относительно произвольной оси z используют теорему Штейнера

,

где I_0z – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной заданной оси z, а – расстояние между этими осями. Из формул (15.5) следует, что момент инерции обладает свойством аддитивности – момент инерции АТТ, состоящего из нескольких частей, равен сумме моментов инерции этих частей.

Сложное (плоское) движение АТТ можно представить как вращение с угловой скоростью в подвижной системе отсчета, которая поступательно перемещается со скоростью центра масс относительно неподвижной системы отсчета. Скорость движения некоторой точки АТТ, радиус-вектор которой в подвижной системе отсчета равен , может быть представлена в неподвижной системе отсчета в виде

. (15.13)