Контрольные вопросы

1. Сформулируйте модели материальной точки (МТ) и абсолютно твердого тела (АТТ).

2. Что такое система отсчета и траектория движения МТ? Как математически представляют траекторию движения МТ в выбранной системе отсчета?

3. Дайте определения радиус-вектора и закона движения МТ.

4. Дайте определение скорости, ускорения движения МТ.

5. Сформулируйте определение углового пути, угловой скорости и углового ускорения при движении МТ по окружности.

6. Какова взаимосвязь между линейной и угловой скоростью при движении МТ по окружности? между тангенциальным и угловым ускорениями при движении МТ по окружности?

7. Как определяется момент инерции тела при различном распределении масс?

8. Сформулируйте теорему Штейнера.

9. Какое движение твердого тела называется плоским?

10. Опишите маятник Максвелла. Почему это устройство называется маятником?

11. Получить выражение для момента инерции диска, кольца.

12. Вывести расчетную формулу для момента инерции маятника Максвелла.

Лабораторная работа № 16 изучение гироскопа

Цель работы – экспериментальное исследование закономерностей гироскопического эффекта, опытное определение полного момента инерции гироскопа.

Теоретическая часть

В буквальном переводе слово «гироскоп» означает прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называют быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Частным случаем гироскопа является обычный волчок. Все явления, обусловленные быстрым вращением гироскопа, называются гироскопическими.

Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. Симметричным называется гироскоп, обладающий симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геометрической осью или осью фигуры гироскопа. Теория симметричного гироскопа более проста и более важна, чем теория несимметричного гироскопа. Обычно одна из точек оси фигуры гироскопа бывает закреплена. Закрепленную точку оси фигуры называют точкой опоры гироскопа. В более общем случае точкой опоры гироскопа называют такую точку О оси фигуры, относительно которой рассматривают вращение гироскопа. В общем случае движение гироскопа складывается из движения точки опоры О и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Основным в теории симметричного гироскопа является случай, когда точка опоры неподвижна.

Рис. 47.

Чтобы ось фигуры гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп обычно помещают в так называемом кардановом подвесе (см. рис. 47). Маховик гироскопа Г закрепляется на его оси фигуры вв, которая может вращаться с малым трением в подшипниках, укрепленных на концах диаметра внутреннего кольца Б. Внутреннее кольцо в свою очередь может вращаться вокруг перпендикулярной оси бб, проходящей через подшипники на концах диаметра наружного кольца А. Наружное кольцо может совершать вращение вокруг третьей оси аа, проходящей через неподвижные подшипники подставки. Ось бб перпендикулярна к оси вв. Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром карданова подвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три вращательные степени свободы и может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Будем считать, что энергии и моменты импульса колец пренебрежимо малы по сравнению с таковыми для маховика, и не учитывать их. Если центр карданова подвеса или точки опоры совпадает с центром масс гироскопа, то гироскоп называется уравновешенным.

Представим движение гироскопа с неподвижной точкой опоры О как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначим вектор мгновенной угловой скорости, с которой вращается гироскоп, – момент импульса гироскопа относительно точки О. Если гироскоп вращается вокруг оси своей фигуры, то направлен вдоль оси вращения и L = I_||ω, где I_|| – момент инерции гироскопа относительно оси его фигуры. Если гироскоп вращается вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры, то опять направлен вдоль оси вращения и L = I_┴ω, где I_┴ – момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной к его оси фигуры. В случае произвольного направления мгновенной оси по отношению к оси фигуры гироскопа для момента импульса справедливо выражение

.

Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов

, (16.1)

причем моменты L и M берутся относительно неподвижной точки опоры гироскопа О. Если момент внешних сил равен нулю, то гироскоп называется свободным. Для свободного гироскопа , и следовательно

.

Это уравнение выражает сохранение момента импульса гироскопа. Из этого уравнения и закона сохранения энергии следует, что при движении свободного гироскопа длины векторов и остаются постоянными. При этом остаются постоянными и обе составляющие момента импульса: и , из чего следует постоянство угла между вектором и осью фигуры гироскопа. В результате в каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры. С течением времени мгновенная ось и вектор меняют свое положение в теле, описывая конусы вокруг оси фигуры гироскопа с одной и той же постоянной угловой скоростью , вообще говоря, не равной . Направление вектора неизменно в пространстве. Ось фигуры гироскопа и мгновенная ось равномерно вращаются в пространстве вокруг этого направления с той же угловой скоростью , но в противоположном направлении. Такое движение называется свободной регулярной прецессией гироскопа.

Если гироскоп с достаточно большим моментом инерции привести в быстрое вращение, то он будет обладать большим моментом импульса. Приращение момента импульса определяется интегралом

.

Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени, то этот интеграл, а с ним и приращение момента импульса будут малы. Значит, при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение свободного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется внешним попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим связана большая устойчивость гироскопа после приведения его в быстрое вращение.

Наиболее интересным видом движения гироскопа является вынужденная прецессия. Она возникает под действием внешних сил. Вынужденная прецессия проще всего объясняется приближенной теорией гироскопа. Гироскопу всегда стремятся сообщить быстрое вращение вокруг оси его фигуры. Но вследствие различных причин гироскоп получает также вращение вокруг перпендикулярной оси. В приближенной теории им пренебрегают, т.е.

.

В этом приближении векторы и не отличаются по направлению, они оба направлены вдоль оси фигуры гироскопа. Поэтому о движении оси его фигуры можно судить по изменению направления вектора . Если рассматривать как радиус-вектор, то производная геометрически может быть истолкована как скорость движения конца вектора . Допустим, что точка приложения внешней силы лежит на оси фигуры гироскопа. Момент этой силы будет , где – радиус-вектор, проведенный от точки опоры гироскопа к точке приложения силы . Вектор «скорости» перпендикулярен к оси фигуры гироскопа. Такой момент сил может изменить только направление вектора , а не его длину. Следовательно, если внешняя сила постоянна, то вектор , а с ним и ось фигуры гироскопа должны совершать равномерное вращение вокруг перпендикулярной к оси фигуры оси (вдоль этой оси направлен вектор угловой скорости прецессии ). Это вращение и есть вынужденная прецессия.

Вектор изменяется только вследствие вращения с угловой скоростью прецессии . Для линейной скорости движения его конца, т.е. производной , можно написать . Тогда из уравнения (1) следует

.

Из этого уравнения можно найти угловую скорость прецессии . Если вектор перпендикулярен к оси фигуры гироскопа, тогда

. (16.2)

В общем случае, когда ось фигуры гироскопа наклонена к оси, вокруг которой совершается его прецессия,

. (16.3)

Приведенные рассуждения справедливы при условии , т.е. для быстро вращающегося гироскопа. Вращение гироскопа считается быстрым, если угловая скорость вращения вокруг его оси фигуры очень велика по сравнению с угловой скоростью вращения вокруг перпендикулярной оси . В частности, она должна быть очень большой и по сравнению с угловой скоростью прецессии Ω. Для быстро вращающихся гироскопов, применяющихся в технике, величина Ω бывает в миллионы раз меньше ω.

Научно-технические применения гироскопов весьма разнообразны. Они нашли применение в военной технике, авиации, кораблестроении и т.д.