Экспериментальная установка

Рис. 34. Схема экспериментальной установки

Схематическое изображение экспериментальной установки, используемой в работе, приведено на рис. 34. Установка состоит из вертикальной стойки, закрепленной на массивной платформе. Платформа имеет опоры, позволяющие регулировать вертикальное расположение стойки. На стойке с помощью винтового зажима может располагаться кронштейн, на котором находятся призматические опоры 2. На эти опоры устанавливается одна из исследуемых пластин 1. На середину пластины вешается скоба 4, снабженная на конце крюком для наборного груза 5. Под действием силы тяжести подвешенного груза пластина прогибается. Величина стрелы прогиба контролируется с помощью часового индикатора 3.

Методика проведения эксперимента

Если прямой упругий стержень обоими концами свободно положить на твердые опоры и нагрузить в середине грузом весом Р, то середина стержня опустится, т. е. стержень согнется (рис. 35).

Рис. 35.

Легко понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут сжиматься, нижние – растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только претерпит искривление. Перемещение λ, которое получает середина стержня, называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна зависеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости. Для деформаций растяжения и сжатия модуль упругости называется модулем Юнга и численно равен напряжению (т.е. упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения тела), возникающему в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза.

Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h (высота), b (ширина). Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией у(х) (см. рис. 35). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной у"(х). Условие равновесия имеет вид:

, (12.1)

где Е – модуль Юнга, I – момент инерции поперечного сечения бруса. В данном случае , – изгибающий момент.

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины:

,

интегрируя которое, получаем:

.

Постоянную интегрирования определим из условия равенства нулю наклона пластины в ее центре: , откуда

.

После второго интегрирования имеем:

. (12.2)

Стрела прогиба λ по модулю равна смещению середины пластины

,

откуда окончательно имеем:

. (12.3)

Порядок выполнения работы

1. Перед началом работы законспектируйте краткую теорию.

2. Внимательно изучите лабораторную установку. Сделайте схематический рисунок ее с указанием основных элементов.

3. Установить одну из исследуемых пластин 1 на призматические опоры 2 (см. рис. 34). Установить часовой индикатор 3 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины.

4. Повесить на скобу 4 гирю 5 массой m. По шкале индикатора определить величину прогиба. Для повышения точности повторить измерения 5 раз.

5. Повторить задание п.2, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов.

6. Измерить штангенциркулем размеры пластины.

7. Вычислить модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (12.3) при каждой массе гири. Рассчитать погрешность результата.

8. Все результаты занести в таблицу 1 отчета.

8.1. По формуле рассчитайте среднеквадратичное отклонение. Здесь N – число опытов.

8.2. Абсолютную погрешность среднего значения модуля Юнга ΔЕ определить по формуле .

8.3. Относительная погрешность результата вычисляется по формуле:

.