Экспериментальная установка

Используемый в данной работе баллистический маятник представляет собой обрезок трубы с пластилином, подвешенный на четырех нитях. В нижней части маятника укреплен визир. При перемещении маятника визир передвигает измерительную планку вдоль горизонтальной миллиметровой шкалы, что позволяет измерить смещение s. На некотором расстоянии от маятника укреплено пневматическое ружьё. При выстреле скорость пули направлена по прямой, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярно к оси его вращения.

Для второго опыта деревянную линейку подвешивают на оси. Выстрел производиться в коробочку с пластилином, укрепленную на конце линейки.

Методика проведения эксперимента

Задание 1. Определение скорости пули с помощью баллистического маятника

1. Ознакомиться с конструкцией прибора.

2. Записать исходные данные опыта: массу маятника М и расстояние R. Для выстрелов желательно использовать одну и ту же пулю, масса которой вместе с погрешностью ее измерения известны.

3. Произвести 5 – 7 выстрелов. В каждом опыте записывают смещение s. Все полученные данные заносят в таблицу отчета.

4. Рассчитать скорость пули по формуле (13.4).

5. Вывести формулу для расчета погрешности измерения скорости пули. В качестве погрешностей измерения входящих в формулу масс взять заданные погрешности М и m. Погрешность R выбирается, исходя из условия измерения величины R. Инструментальная погрешность измерения смещения s равна s = 0,5 мм.

Задание 2. Определение скорости пули с помощью физического маятника.

Баллистический маятник отводят в сторону и укрепляют на оси линейку. Методика проведения опыта аналогична той, которая используется в задании 1. Все данные заносят в таблицу отчета.

В отчете необходимо представить рабочую формулу и формулу для расчета погрешности v.

В выводе необходимо сравнить результаты, полученные в первом и втором задании.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон сохранения импульса системы тел.

2. Сформулируйте закон сохранения энергии системы тел.

3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы тел.

4. Выполняются ли законы сохранения момента импульса и механической энергии системы в данной работе? Почему?

5. Дайте определение момента инерции твердого тела.

6. Как вычисляется кинетическая энергия вращающегося тела?

7. Опишите экспериментальную установку и метод измерения скорости полета пули.

Лабораторная работа № 14 определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний

Цель работы – определение момента инерции различных тел относительно нескольких осей вращения.

Теоретическая часть

Механика твердого тела является одним из самых трудных разделов курса «Механика». Важнейшим понятием здесь является понятие твердого тела. Твердым телом в механике называют неизменяемую систему материальных точек, т.е. такую идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между точками системы остаются неизменными.

Действительно, как показывает опыт, если на какой-либо предмет подействовать с силой и заставить его двигаться, то расстояния между любыми его точками останутся неизменными. Хотя под действием приложенных сил в теле возникнут внутренние напряжения, причина которых – деформация отдельных его частей. Но если рассматривать твердое тело, то эти деформации оказываются настолько малыми, что незаметны для глаз, и ими можно пренебречь. В итоге получаем идеализированную модель абсолютно твердого тела, которое совершенно не может деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления.

Твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы, т.е. для описания его движения необходимо шесть независимых числовых уравнения. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения: уравнение движения центра масс и уравнение моментов

, . (14.1)

В эти два уравнения входят только внешние силы. Внутренние силы не влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела. Они могут изменять только взаимное расположение и скорости материальных точек тела. Но в случае абсолютно твердого тела это невозможно.

Если твердое тело покоится, то в этом случае

, .

Это необходимые условия равновесия твердого тела.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела. Одним из важнейших понятий в динамике вращательного движения твердого тела является понятие момента импульса. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:

.

Здесь – импульс элементарной массы.

Если твердое тело разбить на систему материальных точек и рассмотреть вращение такой системы вокруг неподвижной оси, то для момента импульса справедливо выражение

. (14.2)

Величина – называется моментом инерции тела относительно выбранной оси вращения. Понятие момента инерции вводится при вращении твердого тела. Но эта величина существует независимо от того, вращается тело или нет. Каждое тело обладает моментом инерции. С учетом этого выражение (14.2) запишется в виде

. (14.3)

Это соотношение справедливо для однородного тела, вращающегося вокруг оси симметрии. Последнее выражение можно написать в виде

.

Это объясняется тем, что векторы и для однородного и симметричного тела коллинеарны. Для несимметричного (или неоднородного) тела момент импульса не совпадает по направлению с вектором угловой скорости и формула (14.3) не справедлива.

Рис. 39.

Вычислим момент инерции I твердого тела относительно произвольной оси ОА (рис. 39). Будем считать, что ось проходит через начало координат О. Координаты будем обозначать x, y, z. Разложим радиус вектор элемента массы тела dm на составляющие вдоль оси ОА и перпендикулярно к ней: . По определению момента инерции

.

Если – единичный вектор вдоль оси ОА, то . Кроме того, . Учтя эти соотношения, а также соотношение , получим

,

где I_xx, I_yy, I_zz, – постоянные, определяемые выражениями

(14.4)

Величины I_xx, I_yy, I_zz, очевидно, имеют смысл моментов инерции тела относительно координатных осей X, Y, Z соответственно. Совокупность девяти величин

(14.5)

называют тензором инерции тела относительно точки О, а сами эти величины – компонентами этого тензора.

Тензором вообще называют упорядоченную совокупность девяти величин, заданную в каждой системе координат, причем при повороте координатных осей эти величины преобразуются как произведения компонентов двух векторов.

Тензор инерции симметричен (), поэтому он полностью определяется заданием шести компонентов. В краткой и симметричной форме можно записать

. (14.6)

Если для какой-либо координатной системы известны все шесть компонентов тензора инерции, то можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат О. Момент инерции относительно любой другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера:

,

т.е. момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma², где а – расстояние между осями.

Формула (14.6) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях и на них откладывать отрезки длиной . Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением , а координаты той же точки – . Исключая с помощью этих соотношений величины s_i из (14.6), получим уравнение искомой поверхности

. (14.7)

Эта поверхность второго порядка является эллипсоидом. Она называется эллипсоидом инерции тела относительно точки О, являющейся его центром. Если в качестве О взят центр масс, то соответствующий эллипсоид называется центральным.

Как и всякий тензор, тензор инерции зависит от выбора начала координат и направления координатных осей. При изменении координатной системы меняются и значения компонентов тензора инерции тела. Однако, что важно, какова бы ни была координатная система, всегда могут быть найдены все шесть компонентов тензора инерции, хотя бы по формулам (14.4). В частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе уравнение (14.7) примет вид

,

а тензор инерции приводится к диагональному виду

.

Таким образом, для всякого твердого тела, где бы ни было выбрано начало координат О, существуют три взаимно перпендикулярные оси, совпадающие с главными осями эллипсоида инерции тела относительно точки О, для которых недиагональные элементы тензора инерции обращаются в нуль. Эти оси также называются главными осями тензора инерции. Поэтому задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к задаче о вращении его эллипсоида инерции вокруг той же точки. Главные оси центрального эллипсоида называют также главными осями самого тела.

Допустим, что тело вращается вокруг какой-то закрепленной или мгновенной оси ОА с постоянной или изменяющейся угловой скоростью ω. Найдем его момент импульса относительно начала координат О. По определению

.

В проекциях на координатные оси можно записать

или

Таким образом, компоненты вектора момента импульса являются линейными однородными функциями компонентов вектора угловой скорости. В системе главных осей эти формулы упрощаются и принимают вид