Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

1. неопределенный интеграл 5

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла 7

1.3. Таблица основных интегралов 8

1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой 10

1.5. Интегрирование по частям 15

1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен 20

1.7. Интегрирование рациональных дробей 25

1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби 28

1.8. Интегрирование иррациональных функций 35

1.9. Интегрирование тригонометрических функций 44

1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции 54

2. Интеграл по мере области 56

2.1. Понятие интеграла по мере области 56

2.2. Основные свойства интеграла по мере области 60

2.3. Вычисление определенного интеграла 63

2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница 63

2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки 70

2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям 73

2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании 76

2.4.1. Формула прямоугольников 77

2.4.2. Формула трапеций 77

2.4.3. Формула парабол (Симпсона) 78

3. Несобственные интегралы 81

3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 81

3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций 85

3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов 91

4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом 97

5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра 98

6. Понятие о гамма-функции 99

7. Вычисление кратных интегралов 101

7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 101

7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 108

7.3. Замена переменных в кратных интегралах 111

7.3.1. Общая формула замены переменных 111

7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 113

7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 115

7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат 118

8. Криволинейные интегралы 121

8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой 121

8.2. Криволинейные интегралы по координатам 126

8.2.1. Понятие о векторном поле 126

8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам 128

8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам 129

8.2.4. Формула Грина 132

8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования 133

9. Приложения кратных интегралов 136

9.1. Геометрические приложения кратных интегралов 136

9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения 143

9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением 143

9.2.2. Объём тела вращения 145

9.2.3. Площадь поверхности вращения 146

9.3. Механические приложения кратных интегралов 147

9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов 149

Предметный указатель 160

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 163

ОГЛАВЛЕНИЕ 165

Учебное издание