- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
3. Несобственные интегралы
Понятие интеграла было введено для функций, непрерывных на конечном отрезке. Однако при рассмотрении математических моделей многих явлений (процессов) целесообразно обобщение понятия интеграла. Во-первых, иногда полезно рассмотрение бесконечных пределов интегрирования. Во-вторых, интегрируемая функция может иметь разрывы. В связи с изложенным мы рассмотрим эти ситуации и дадим соответствующие обобщения понятию интеграла.
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Пусть т. е. функция f(x) непрерывна на отрезке при любом b > a.
Интеграл
(3.1)
называется несобственным интегралом.
Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел (3.1). Если не существует конечного предела (3.1), то несобственный интеграл называют расходящимся.
С геометрической точки зрения величина (3.1) выражает площадь бесконечной фигуры, ограниченной кривой осью абсцисс и прямой x = a (рис. 3.1).
Аналогично вводятся и другие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
где выбирается произвольно (докажите самостоятельно, что от выбора c значение интеграла не зависит). Для последнего интеграла сходимость определяется сходимостью обоих интегралов в правой части равенства.
Рассмотренные несобственные интегралы называют иногда несобственными интегралами первого рода.
Пример 1.
Ответ: Интеграл сходится.
Введём понятие главного значения несобственного интеграла I рода – Valeur principle (v.p.)
v.p. .
Для чего его вводят? Может оказаться, что не существует, но, устремив переменную в пределе определенным, симметричным образом, получим сходящийся интеграл (рис. 3.2).
Пример 2. Найти значение или установить расходимость несобственного интеграла .
Решение
.
Ответ: Интеграл расходится.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение
.
Ответ: Интеграл сходится и равен .
Пример 4. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение
Оба предела интегрирования бесконечны, поэтому разбиваем интеграл на сумму двух интегралов
.
Данный интеграл сходится, если сходятся интегралы справа
и .
Исследуем на сходимость первый интеграл:
.
Интеграл сходится. Исследуем на сходимость второй интеграл:
.
Интеграл также сходится, следовательно,
.
Ответ: Интеграл сходится и равен .
Пример 5. Пусть в начале координат O находится масса m, которая притягивает материальную точку M, находящуюся на оси Ox на расстоянии x от O и имеющую массу 1, с силой (по закону Ньютона). Какую работу А произведет сила F при перемещении точки М вдоль оси Ox из положения, отвечающего x = r, в бесконечность?
Решение
Работа, очевидно, будет отрицательной, так как направление силы противоположно направлению движения; отсюда
.
При обратном перемещении точки М из бесконечности в точку x = r сила ньютоновского притяжения произведет положительную работу ; эта величина называется потенциалом рассматриваемой силы в точке x = r и служит мерой накопления в точке потенциальной энергии.
Ответ: .
Пример 6. При исследовании затухающего тока, получающегося при разряде, иногда применяются «баллистические» приборы, показания которых пропорциональны не мгновенному значению силы тока I или ее квадрату , а «интегральной силе тока» или «интегральному квадрату силы тока» . Здесь t – время, отсчитываемое от начала разряда; I – сила переменного тока, зависящая от времени. Процесс теоретически продолжается бесконечно, хотя практически уже через конечный промежуток времени сила тока становится неощутимой; при расчете промежуток времени считают бесконечным в целях упрощения формул.
Вычислить g и S для следующих процессов:
а) (простой апериодический процесс); k – постоянный коэффициент, больший нуля;
б) (простой колебательный процесс); коэффициенты постоянны.
Решение
а) ;
;
б)