- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
1. Неопределенный интеграл
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Пусть дана функция Тогда производная Оператор, сопоставляющий функции её производную, называется оператором дифференцирования D:
Рассмотрим обратную задачу: зная функцию найти функцию , производная которой равна
(1.1)
Говорят, что функция F(x) является первообразной для функции f(x).
Примеры
-
-
первообразной для функции является функция Вместе с тем первообразной будет и функция , и , и т. д.
Из последнего примера следует, что задача об отыскании первообразной не имеет единственного решения.
Теорема 1 (о виде первообразных). Любые две первообразные для одной и той же функции различаются лишь на постоянную величину.
Доказательство. Пусть F(x) и Ф(х) – две первообразные для функции f(x), т. е.
Таким образом, любая первообразная для заданной функции имеет вид
Здесь – какая-либо первообразная; С – произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается
(1.2)
В (1.2) f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Процедура вычисления неопределённого интеграла называется интегрированием функции f(x).
Геометрический смысл неопределённого интеграла ясен из рис. 1.1, где показано множество кривых, каждая из которых может быть получена сдвигом кривой y = F(x) в направлении оси ординат. Неопределённый интеграл есть произвольный элемент y = F(x) + С указанного семейства кривых.
На неопределённый интеграл можно смотреть как на оператор, действующий из С в С1:
Оператор интегрирования иногда обозначают следующим образом:
имея в виду, что если заменить точку функцией f(x), то получится значение оператора на функции f(x).
Теорема 2 (о существовании неопределённого интеграла). Для всякой функции класса существует неопределённый интеграл на том же отрезке .
В данном курсе доказательство этой теоремы не рассматривается.
1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
(1.3)
Доказательство:
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
Доказательство:
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
Доказательство:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:
(1.4)
Доказательство. Знак равенства в (1.4) понимается как совпадение производных для левой и правой частей. Отсюда следует очень простое доказательство
5. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, если интегралы существуют:
(1.5)
Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 4:
,
Из равенств (1.4), (1.5) следует, что оператор интегрирования является линейным оператором.