7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат

Положение точки М в пространстве можно определить, задав три величины:

1. расстояние r от этой точки до начала координат 0;

2. угол между координатной плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz;

3. угол между радиусом-вектором и осью Oz (рис. 7.24).

При этом считают, что

Упорядоченная тройка чисел (r, называется сферическими координатами точки М. Связь с декартовыми координатами осуществляется при помощи формул

Сферические координаты тоже являются ортогональными. Координатными поверхностями здесь являются

• − сфера радиуса r;

• − плоскость, проходящая через ось Oz;

• − коническая поверхность с углом при вершине и с осью, совпадающей с Oz.

Якобиан отображения из декартовой в сферическую систему координат

Поэтому тройной интеграл в сферических координатах записывают в виде

Пример 1. Перейти в тройном интеграле к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования

.

Решение

Область V – это часть шара, ограниченная (вне) конусом (рис. 7.25). Уравнение сферы в сферических координатах примет вид

или . Следовательно, в области V координаты и изменяются так: , , . Поэтому

=.

Пример 2. Вычислить

,

если V – полушар и .

Решение

Переходим к сферическим координатам

Задания для самостоятельного решения

1. Подумайте, как запишется при аналогичной замене переменных двойной интеграл и коэффициент искажения элемента площади dS.

2. Перейдя к полярным координатам, вычислить , где область D – круг радиуса R = 1 с центром в начале координат (ответ: ).

3. Вычислить , где D − правая половина кольца между окружностями и (ответ: ).

4. Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам r, , z или сферическим координатам , , r и расставить пределы интегрирования:

а) ;

б)

(ответ: а) ;

б) ).

5. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена данными поверхностями:

а) ;

б) ;

в)

(ответ: а) ; б) ; в) ).

6. Переходя к сферическим координатам, вычислить тройной интеграл где V − шар радиуса R (ответ: ).

8. Криволинейные интегралы

8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой

Ранее было введено понятие интеграла по мере области. Рассмотрим случай, когда в качестве «области» выбрана гладкая кривая L (кривая называется гладкой, если положение касательной при перемещении точки касания по кривой изменяется непрерывно).

Пусть на кривой L задана функция f(M) точки этой кривой (рис. 8.1). Тогда можно ввести следующее понятие интеграла:

(8.1)

который называется криволинейным интегралом по длине дуги кривой (криволинейным интегралом первого рода).

В выражении (8.1) предполагается, что − длина участка дуги l_i.

Если в выражении (8.1) положить f (x,y) = 1 на всей дуге L, то в соответствии с одним из свойств интеграла по мере интеграл

(8.2)

выражает длину дуги L. Найдем эту длину.

Разобьем кривую L на частичные дуги точками и соединим эти точки отрезками. За приближенную длину дуги кривой можно принять длину вписанной в неё ломаной. Очевидно, что при увеличении числа звеньев ломаной такая замена будет всё более точной. Для большого класса кривых, называемых спрямляемыми, существует предел последовательности длин ломаных при бесконечном увеличении числа звеньев, или когда длина наибольшего из звеньев стремится к нулю. Этот предел логично принять за длину дуги кривой.

Считая кривую спрямляемой, найдём её длину. Выделим i-тый участок (рис. 8.2).

Тогда длина отрезка

.

Пользуясь формулой конечных приращений, найдем

.

Тогда

.

Суммируя , получим длину ломаной

.

Переходя к пределу, получим точное значение длины дуги кривой

. (8.3)

Под знаком предела стоит интегральная сумма, составленная для функции

.

Тогда выражение (8.3) представляет собой интеграл, определяющий длину дуги L

.

Сравнивая последнее выражение с (8.2), можно видеть, что

.

Логично предположить, что последняя формула позволяет вычислить интеграл по длине дуги кривой, когда подынтегральная функция равна 1. Выражение

(8.4)

называется дифференциалом дуги плоской кривой. Он выражает длину бесконечно малого участка дуги. Исходя из соображений интегральной суммы очевидна формула для вычисления криволинейного интеграла I рода

. (8.5)

Если кривая L задана параметрически

то, подставляя и в (8.4) и (8.5), получим

или ; (8.6)

. (8.7)

Обобщением на случай пространственной кривой будут формулы

Если кривая L задана в полярных координатах , то, помня о формулах перехода к прямоугольным координатам, получим следующие параметрические уравнения этой кривой:

где полярный угол θ логично принять за параметр. Тогда находим

,

.

В соответствии с выражениями (8.6) и (8.7) получим

,

,

где – полярные углы начала и конца дуги кривой L.

Если функцию f(x, y, z) считать линейной плотностью массы изогнутого стержня L, т. е. , то в соответствии с (8.1) его масса вычисляется по формуле

.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

по кривой от начала координат до точки с абсциссой х = 2.

Решение

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L − отрезок прямой от точки A(0; 0) до точки B(4; 3).

Решение

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

.

Найдем уравнение прямой AB

или .

Тогда и, следовательно,

.

Пример 3. Найти массу m четверти окружности L радиуса а, расположенной в первом квадранте, если (центр окружности совпадает с началом координат).

Решение