- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Библиографический список
-
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-ПРЕСС, 2004.
-
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-ПРЕСС, 2002.
-
Математика-5 для студентов вузов. Интегральное исчисление для функции одной переменной: Учеб. пособ. / Ю.П. Самарин, Г.А. Сахабиева. – Самара: СамГТУ, 2000.
-
Математика-6 для студентов вузов. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля. Учеб. пособ. / Ю.П. Самарин, Г.А. Сахабиева. – Самара: СамГТУ, 2000.
-
Интегралы по мере. Учеб.-метод. пособ. / М.А. Евдокимов, Е.Н. Рябинова. – Самара: СамГТУ, 2003.
-
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособ. для втузов: В 2 ч. Ч. Ι / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1998. – 304 с.
-
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. ΙI: Учеб. пособ. для студентов втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1980. – 365 с.
-
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. – Под общ. ред. А.П. Рябушко. –Мн.: Выш. шк., 1991. – 352 с.
-
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособ. для втузов / Г.Н. Берман. – СПб: Специальная литература, 1998. – 446 с.
-
Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. – М.: Наука, 1965. – 616 с.
-
Интегральное исчисление и его приложения: Метод. указ. к типовому расчету / Сост. С.И. Голованова, М.А. Евдокимов, Л.Н. Смирнова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2007. – 40 с.
-
Определенный интеграл: Практ. занятие 6 (семестр 2) по высш. мат. / Сост. Н.В. Спиридонова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2006. – 22 с.
-
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных дробей: Практ. занятие 3 (семестр 2) по высш. мат. / Сост. Н.В. Спиридонова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2005. – 12 с.
-
Интегрирование тригонометрических функций: Практ. занятие 4 (семестр 2) по высш. мат. / Сост. Н.В. Спиридонова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2005. – 12 с.
-
Вычисления и оценки несобственных интегралов: Практ. занятие 7 (семестр 2) по высш. мат. / Сост. Н.В. Спиридонова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2006. – 18 с.
-
Непосредственное интегрирование: Практ. занятие 1 (семестр 2) по высш. мат. (разработка) / Сост. О.С. Беркутова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т. – 7 с.
-
Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям: Практ. занятие 2 (семестр 2) по высш. мат. (разработка) / Сост. О.С. Беркутова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т. – 8 с.
-
Интегрирование иррациональных выражений: Практ. занятие 5 (семестр 2) по высш. мат. (разработка) / Сост. О.С. Беркутова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т. – 9 с.
-
Двойной интеграл: Практ. занятие 8 (семестр 2) по высш. мат. (разработка) / Сост. О.С. Беркутова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т. – 12 с.
-
Тройные интегралы: Практ. занятие 9 (семестр 2) по высш. мат. (разработка) / Сост. О.С. Беркутова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т. – 11 с.