4. Анализ эффективности предлагаемого устройства

Теоретические сведения, подтверждающие возможность осуществления изобретения с получением вышеуказанного технического результата, заключаются в следующем (Ю.Н.Санкин, С.Л.Пирожков. Управление полем виброперемещений упругих систем с распределенными параметрами, стр.71-79 // Механика и процессы управления: Сборник научных трудов / Ульяновский гос. техн. ун-т. Ульяновск, 2000. 84 с):

Рассмотрим нестационарные колебания системы с распределенными параметрами без наличия регулятора уровня вибраций. Эти колебания в линейном приближении описываются следующей системой дифференциальных уравнений:

где a_n=a_n(t) - коэффициент разложения поля перемещений u в ряд по формам собственных колебаний:

где u_n - форма колебаний; k - число существенно проявляющих себя форм колебаний; - интегральный коэффициент рассеяния энергии; В - оператор рассеяния энергии;- норма соответствующей формы колебаний; R - масса единицы длины, площади, объема; L - область, занимаемая упругим телом.

где f - возмущающие силы.

Пусть к рассматриваемой системе присоединены s сосредоточенных масс m; при помощи упругих элементов с_i. Тогда вместо (1) получим следующую систему уравнений:

Здесь u_ji - вектор значений j-й формы колебаний в i-й точке упругой системы; γ_i - матрица рассеяния энергии в i-м упругом элементе; с_i - матрица жесткостей i-го упругого элемента.

Чтобы выяснить принципиальную сторону вопроса, рассмотрим балку, несущую s упругоприсоединенных масс без учета рассеяния энергии. Положим, что все массы и соответствующие упругие элементы одинаковы: m_i,=m, с_i=с. Тогда система (3) упроститься и перепишется в виде:

Далее пусть на систему действует гармоническая возмущающая сила f=f₀sinωt, где f₀ - амплитуда возмущающей силы; ω - ее частота. Тогда ϕ_n(t)=ϕ_n0sinωt, где причем L здесь уже длина балки.

Ограничимся частным решением системы (4), то есть чисто вынужденной составляющей, полагая

где а_n0, u_i0 - соответствующие амплитуды вынужденных колебаний.

Подставляя (5) в систему (4), получаем:

Нетрудно видеть, что при все a_j0 обращаются в нуль, то есть имеет место гашение колебаний. При некотором отклонении частоты гашения ω_г от частоты возбуждения и, если учитывать рассеяние энергии, амплитуда вибраций в точках крепления регуляторов будет отличаться от нуля. При этом амплитуда поддается управлению, если изменять массу m.

Данное изобретение было проверено с помощью численного эксперимента. В упругую модель автомобиля были заложены следующие исходные данные: H₁=Н₂=100800 Н/м, γ₁=0,01; m₁=680 кг; ρ₁=0,58 м²; a₁=1,32 м; a₂=1,08 м; r=10; m=3; γ₂=0,01; m₂=1600 кг; ρ₂=1,068 м²; m₃=250 кг; ρ₃=0,45 м²; где H₁, H₂ - боковые жесткости шин передней и задней оси; m₁, ρ₁, m₂, ρ₂, m₃, ρ₃ - массы и радиусы инерции рамы, кузова и двигателя соответственно; γ₁ - коэффициент рассеяние энергии в шине; γ₂- в подушках крепления кузова к раме; γ₃ - в подушках крепления двигателя к раме; a₁, a₂ - расстояние от положения центра тяжести до передней и задней осей; r - число подушек крепления кузова к раме; m - число подушек крепления двигателя к раме; - расстояние от i-й подушки крепления кузова до центра масс рамы;- жесткость в поперечном направлении i-й подушки крепления кузова к раме;- расстояние от i-й подушки крепления кузова до центра масс кузова;- расстояние от i-й подушки крепления двигателя до центра масс рамы;- жесткость в поперечном направлении i-й подушки крепления двигателя к раме;- расстояние от i-й подушки крепления двигателя до центра масс двигателя;

Собственная частота колебаний в поперечном направлении была найдена и равна 20,9 с^-1. На фиг.3 показана АЧХ и ее часть для графического определения частоты собственных колебаний. Для пружин с жесткостью 2с=4400 Н/м требуемая масса электромагнитной жидкости равна 10 кг. Размер АФЧХ уменьшится примерно на 15%, при этом значительно снижается амплитуда колебаний автомобиля - на фиг.4 показаны линейные АФЧХ двигателя и АФЧХ двигателя с предлагаемым гасителемПо разработанный авторами изобретения методике был проведен частотный анализ курсовой устойчивости автомобиля.

Для вышеприведенных параметров упругой системы автомобиля были построены АФЧХ линейного, углового перемещения центра масс, а также перекрестная АФЧХ: W₁₁(iω), W₂₂(iω) и W₁₂(iω) соответственно. По построенным АФЧХ фиксируют характерные частоты - экстремальные точки АФЧХ, соответствующие минимальному значению мнимой составляющей ω_n и максимальному значению вещественной составляющей ω_{n max}. По зафиксированным значениям ω_n и ω_{n max} определяют постоянные времени:

где Т_n2, T_n1 - соответственно инерционная постоянная времени и постоянная времени демпфирования n-го колебательного звена. Смотри: Ю.Н.Санкин. Динамика несущих систем металлорежущих станков. - М.: Машиностроение, 1986. - 96 с.

В работе: Динамические характеристики вязкоупругих систем с распределенными параметрами. Санкин Ю.Н. Издательство Саратовского университета, 1977 г., дано теоретическое представление передаточной функции, являющейся математической моделью эквивалентной упругой системы:

где - соответствующие матрицы коэффициентов усиления n-го колебательного звенаобозначаяN - число существенно проявляющихся витков АФЧХ.

Составим матрицу передаточных функций в виде:

Матрица передаточных функций характеризует динамику бокового перемещения точки, принятой за полюс, и динамику угловых перемещений вокруг этого полюса, и представляет математическую модель упругой системы автомобиля в боковом движении.

Дополняя матрицу передаточных функций уравнениями неголономной связи шин с дорожным покрытием:

где β₁, β₂ - коэффициент деформации шин передней и задней оси; Х - поперечная координата центра тяжести автомобиля; х - поперечная координата прямоугольника, вершины которого - точки соприкосновения колес с дорожным покрытием; Θ - угол, определяющий направление автомобиля; θ - угол, определяющий направление прямоугольника вершины которого - точки соприкосновения колес с дорожным покрытием; a₁, а₂ - расстояния от передней и задней оси до положения центра тяжести; V - скорость движения автомобиля.

Передаточная матрица, соответствующая уравнениям неголономной связи

Общая передаточная матрица Н системы является произведением W(iω) и W₂(iω): Н=W(ω)·W₂(iω).

Рассмотрим динамическую устойчивость системы в линейной постановке (Ю.Н.Санкин. Динамика несущих систем металлорежущих станков. - М.: Машиностроение, 1986. - 96 с.). При неустойчивости определитель матрицы Н-I, где I - единичная матрица, должен равняется нулю. Соответственно ни одно собственное значение матрицы Н не должно равняться 1. Характеристическое уравнение для рассматриваемого случая:

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:

λ²-(а11+а22)λ+(а11·а22-а21·а12)=0

Строя АФЧХ λ₁ и λ₂ согласно вышеуказанному уравнению, определяем, при какой скорости АФЧХ соответствующего λ пересекает вещественную ось при значении, равном 1.

Анализ показал, что при применении предлагаемого гасителя повышается курсовая устойчивость (увеличение критической скорости на 33,5% - до 68,4 км/ч). На фиг.5 показаны годографы при скорости автомобиля V=68,4 км/ч: На фиг.5 показаны годографы при скорости автомобиля V=68,4 км/ч: на 5 а - годограф для автомобиля с предлагаемым гасителем, на 5b - без гасителя.