Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

O'Z • 1лава~Ji множества и отооражения

4.Показать, что подмножество Е пространства Rn есть открытое множество тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

5.Привести пример, опровергающий каждое из нижеследующих утверждений.

а) Если А = В UС, где В и С — непересекающиеся и непустые множества, то А есть несвязное (разрывное) множество.

б) Если F — замкнутое подмножество R1 , то F можно представить в виде объединения непересекающихся множеств, представляющих собой либо отрезки (замкнутые интервалы) либо изолированные точки в F.

в) Если G — открытое подмножество R2 , то его граница 8G есть совершенное множество.

Использовать следующие множества в упр. 6-13.

:п = 1,2,3,. ..}

е) классическое множество Кантора (рис. 2.20); ж) ковер Серпинского(рис. 2-4).

6.Определить, является ли множество открытым, замкнутым или ни тем и ни другим.

7.Найти диаметр множества.

8.Является ли множество связным?

9.Является ли множество компактным?

10.Указать границу множества.

11.Является ли множество совершенным?

12.Пусть г = 1/8. Изобразить векторную сумму Е + ВГ(О) (гомотетию) для каждого множества.

13.Является ли множество вполне разрывным?

3.2Метрические пространства • 63

3.2.Метрические пространства

До сих пор, говоря о расстоянии, мы всегда подразумевали евклидово расстояние.Так, расстояние между векторами х и у в Rn мы определили какдлину вектора ||х — у||2, а именно:

||х - у||2 =

Но расстояния можно вычислять ипо-другому, используя различные меры длины. Например, рассмотрим упрощенную карту города в виде прямоугольной сетки улиц с двусторонним движением. Тогда адекватной мерой длины может служить кратчайшее расстояние, которое нужно преодолеть, чтобы добраться от одного перекрестка до другого. Иногда такое расстояние называют манхэттенским.

Вместо того чтобы перечислять всевозможные меры длины, большинство из которых нам не понадобится, мы сейчас рассмотрим требования (аксиомы), которым должна удовлетворять произвольная мера длины. Все последующие теоремы о расстояниях будут доказаны в рамках этих аксиом, то есть в наиболее общем виде. В математике принято вместо выражения «мера длины» использовать термин метрика.

Метрика. Метрикой на множестве X называется вещественная функция d(x, у), определенная на произведении X х X и удовлетворяющая следующим аксиомам:

а) d(x, у) > 0 для всех х,у € X; б) d(x, у) = О влечет х = у;

в) d(x,y) = d(y,x);

г) d(x, z) < d(x,y) + d(y,z) для всех ж,у,z £ X (неравенство треугольника).

Метрическим пространством называется пара (X,d).

Доказательство того, чтоевклидово расстояние ||х — у||2 удовлетворяет аксиомам (а), (б) и (в), тривиально. Неравенство треугольника:

| | x - z | | 2 < | | x - y | | 2 + ||y - z|| 2

мы доказали в п. 3.1 (теорема 3.1.2). Таким образом, евклидово расстояние является метрикой, которую мы в дальнейшем будем называть евклидовой метрикой.

64 • Глава 3 / Множества и отображения

Рассмотрим один важный класс метрик в пространстве Rn , a именно класс р-метрик. Р-метрика является обобщением евклидовой метрики и совпадает с нейпри р = 2. Для 1 < р < оо р-метрика определяется следующим образом:

Их - у||р =

Для р = оо:

IIх ~УН» = maxflzi - yi\ +• • • + \хп - уп\}.

Мы оставим без доказательства следующий факт:

ДтЦх-уЦ^Цх-ylL.

Доказательство того, чтор-метрика действительно является метрикой, т.е. удовлетворяет аксиомам (а)-(г), мытакже опускаем. Частично этот вопрос вынесен в упражнения.

Заметим, что в определении метрики мы не стали требовать, чтобы элементы х и у принадлежали пространству Rn . Это дает нам возможность определить множество X, также как и его элементы х, у и т. д., многими разными способами. Наша задача состоит в том, чтобы указать при каких условиях фрактальное построение сходится. Дляэтого нужно уметь измерять расстояние между компактными множествами, тоесть необходимо определить соответствующую метрику.

Теория множеств в метрических пространствах. Нам пред-

стоит сделать большой шагвперед и распространить теоретикомножественные определения п. 3.1, подразумевавшие евклидову метрику, на произвольные метрики. Открытый шар в метрическом пространстве (X,d) определяется следующим образом:

С учетом (3.4), мыможем оставить безизменений данные выше определения следующих понятий:

3.2 Метрические пространства • 65

Например, множество Е С X является открытым множеством тогда итолько тогда, когда для любого х € Е можно указать открытый шар Вг(х) (в смысле определения (3.4)), который содержится в Е. В список вошли безизменений всеопределения, кроме понятия компактности. Строгое определение компактного множества в произвольном метрическом пространстве дается в прил. АЛ. Так как нас в основном будет интересовать компактность подмножеств пространства Rn , то определение, данное выше (замкнутость иограниченность), остается в силе.

Если d(x,y) — метрика намножестве X, а / — взаимно однозначная вещественная функция, то

p(x,y) = \f(x)-f(y)\

также есть метрика на X. Аксиомы (а) и (в), очевидно, выполнены. р(х,у) удовлетворяет аксиоме (б), так как / — взаимно однозначная функция. Аксиома (г)запишется в виде неравенства:

\f(x) - f(z)\ <\f(x) - f(y)\ + \f(y) - f(z)\,

то есть классического неравенства треугольника для вещественных чисел. Пример метрики, заданной таким образом:

р(х,у) = \х*-у% x,y€R.

Говорят, что две метрики, d(x, у) ир(х, у), определенные на множестве X, эквивалентны, если можно указать такие К\ > 0и Ki > О, что:

Kid(x, у) < р(х, у) < K2d(x, у), х, у £ X.

Можно показать, что любые две р-метрики в пространстве Rn , где 1 < р < сю, эквивалентны (случай р = 1,2, оо вынесен в упр. 3 в конце этого параграфа). Сдругой стороны, метрики d(x, у) = \х — у\ и р(х, у) = |ж3 — у3\ на множестве R неэквивалентны (упр. 4 вконце этого параграфа).

По-видимому, основным следствием эквивалентности метрик для теории фракталов является тот факт, что фрактальная размерность (глава 5)сохраняется при замене метрики на эквивалентную. Более того, если множество открыто (замкнуто) в одной метрике, тооно открыто (замкнуто) и в любой эквивалентной метрике. Далее, если множество ограничено водной метрике, то оно ограничено и влюбой эквивалентной метрике. То же самое относится и к совершенным, связным ивполне разрывным множествам.

3.2 Метрические пространства • 67

которые при непрерывном отображении / сохраняются без изменений у множества f(A) = {/(х) : х € А}, называются инвариантами непрерывности. Ктаким свойствам относятся компактность и связность. В прил. А приведены доказательства этих фактов, а также некоторые другие важные результаты о непрерывных отображениях. Метрические характеристики, вчастности, фрактальная размерность, инвариантами непрерывности не являются. В теории фракталов часто используют более сильные ограничения, чем непрерывность, например, требуют выполнения условия Липшица (п. 3.3).

Упражнения 3.2.

1.Показать, что манхэттенское расстояние:

определяет метрику.

2.Графически отобразить на экране компьютера единичные шары

в R 2 с центром в начале координат, используя р-метрику, для

р = 1,3/2,2,3,оо.

3.Показать, что р-метрики вRn , где р = 1,2, оо, эквивалентны друг другу. Указание: доказать следующие неравенства с использованием неравенства Коши-Шварца.

J H y l U U y l l ^ l l y l L ,

B)l|x-y||00<||x-y||2<v^||x-y||00.

4.Показать, что метрика р(х,у) = |х3 — уг\ не эквивалентна евклидовой метрике в R.

5.Введем в R 2 новую систему координат:

х\ =2a;i, Жз =4x2-

Определим новое расстояние в R 2 по формуле р(х,у) = d(x',y'), где d —евклидово расстояние.

а) Показать, что р определяет метрику в R2 . б) Эквивалентны ли метрики р и d?

68 • Глава3 / Множества и отображения

6. Пусть f(x), — оо < х < оо,— возрастающая функция, то есть из Х\ < х-1 всегда следует f(xi) < /(яг)- Предположим также, что существует постоянная М > О такая, что |/'(ж)| < М для всех —оо < х < оо. Определим метрику р = \f(x\) — /(хг)|.

а) Показать, что p{x\,xi) < М\х\ —xi\- б) Указать дополнительное условие, которому должна удовлетворять функция /(ж), чтобы p(xi,X2) была эквивалентна евклидовой метрике независимо от выбора f(x).

7. Найти все кратчайшие пути от точки (1,1) до прямой у = — х в R 2 с манхэттенской метрикой. Замечание: длина пути в произвольном метрическом пространстве (X, d) определяетсякак

причем точная верхняя грань берется по всем разбиениям пути

[х0, xi, ...,хп], п = 1,2,3,...

8.Доказать эквивалентность двух определений непрерывности: в терминах е, 6 и в терминах сходящихся последовательностей (см. формулу (3.7)).

3.3. Сжимающие отображения

Пусть (X, d) — метрическое пространство. Преобразование Т :

X —*• X называется сжимающим отображением (или сжатием),

если существует такое число s, 0 < s < 1, что:

d{T{x),T{y))< sd(x,у), х,уеХ. (3.8)

Число s называется коэффициентом сжатия. Сжимающее отображение есть частный случай отображения Липшица, которое также определяется формулой (3.8), где 0 < s < оо. В этом случае положительная постоянная s называется постоянной Липшица. Таким образом, сжимающее отображение есть отображение Липшица с постоянной меньше 1.

Легко убедиться в том, что вещественное дифференцируемое отображение /(ж),определенное на прямой R, есть отображение Псттттттиття. если \f'(x)\ < s < оо для всех х € R (см. упр. 1 в конце

3.3 Сжимающие отображения • 69

этого параграфа). Если к тому же s < 1, то / есть сжимающее отображение. Например,

/(ж) = (1/2) cos ж

определяет сжатие на R, так как |/'(х)| = —(1/2) sin ж и \f'(x)\ < 1/2. Более интересный пример — отображение cosz на отрезке [0,тг/2]. Оно не является сжатием, так как это отображение Липшица с постоянной 1. Тем не менее, для любого a G(0,тг/2) это отображение является сжатием на отрезке [0,а] (упр. 2 в конце параграфа).

Основные результаты теории сжимающих отображений связаны с неподвижными точками таких отображений. Точка х называется неподвижной точкой отображения /(ж), если:

/(*) = *.

Понятие неподвижной точки имеет огромное значение, хотя это и не очевидно с первого взгляда. Метод неподвижной точки является основным инструментом математического анализа при доказательстве теорем существования. С его помощью удается, во-первых, доказать существование решения различных уравнений (алгебраических, дифференциальных и др.), а во-вторых, построить это решение. Например, известный метод Ньютона нахождения нулей функции опирается именно на теорию неподвижной точки (упр. 6 в конце параграфа). Мы воспользуемся результатами этой теории для того, чтобы доказать существование предела последовательности множеств, сходящихся к фракталу, и разработать общую схему построения разнообразных фракталов (глава 4).

Если в качестве X взять отрезок [о,Ь]в пространстве R, то все основные свойства неподвижных точек можно изобразить графически. Легко заметить, что даже если f(x) — просто непрерывная функция из [а,Ь] в [о,Ь] (не обязательно сжатие), то у нее есть неподвижная точка, совпадающая с точкой пересечения графиков у = f(x) и у = х (рис. 3.5). Интуиция подсказывает: раз график функции у = f(x) начинается слева (х = а), а затем движется вправо, не покидая квадрата [а,6] х [а, Ь], то он не может не пересечь график функции у = х в некоторой точке внутри квадрата. Упр. 3 в конце параграфа посвящено аналитическому доказательству этого наблюдения. Надо отметить, что, к сожалению, доказать существование неподвижной точки в произвольном метрическом пространстве гораздо сложнее.

70 Глава 3 I Множества и отображения

неподвижная точка

Рис. 3.5. Неподвижная точка

Вернемся к нашему частному случаю, когда f(x) — вещественная функция, отображающая [a,ft]в [а, Ь]. Предположим также, что /(ж) дифференцируема и что \f'(x)\ < s < 1, то есть f(x) — сжимающее отображение. Метод итераций для нахождения неподвижной точки состоит в следующем. Обозначим через XQпроизвольную начальную точку из отрезка [а,Ь]. Положим:

Теорема 3.3.3, которую мы докажем ниже, утверждает, что хп —• х/ и что Xf — единственная неподвижная точка. Процесс сходимости можно изобразить графически, с помощью так называемых паутинных диаграмм (они будут интенсивно использоваться в главе 6).