Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

4-3 СИФ со сгущением • 113

Теорема 4.3.3. Пусть ССИФ задана сжимающими отображениями Тс, Т\,Тг, ...,Тт, где Тс — сгущение:

Т0(А) = Tc(A)UT1(A)L)---UTm(A), = ТС(А) + Т(А).

Положим

С„ = т£,п ) (С), п = 0,1,2,...

Тогда

сп =си т(С) и• • • и т(п)(С)

и

Е = lim Cn

п—>оо

— аттрактор ССИФ.

Доказательство. Для доказательства первого утверждения мы воспользуемся следующим соотношением (см. упр. 5 в конце этого параграфа):

Имеем:

Со = Т0 ( 0 ) (С) =С

d= Т0 ( 1 ) (С) =

=сит(сит(С))

=сит(С)ит<2)(С)

Второе утверждение, Е = Ишп-юо Сп, следует изтеоремы 4.1.2, в шторой надо положить EQ = С. •

114 • Глава 4 / Системы итерированных функций

Пример ССИФ представлен на рис. 4.10. Здесь множество сгущения С — фрактал, а именно фигура «сорняка», полученная с помощью L-системы. Данная ССИФ задается единственным сжимающим отображением, помимо тривиального:

Ti(z) = (0,7960 + 0,0799г> + (-0,2500 -I-0, 7500г).

Для вывода на экран можно использовать программу ТЕРТЛГРАФИКА, предусмотрев возможность изменения масштаба и положения изображения каждый раз, когда встречается кодовое слово для фигуры «сорняк». Само кодовое слово есть результат работы алгоритма 2.2.1 (L-СИСТЕМЫ) после двух итераций, инициализированного следующим образом:

axiom = F

newf = F[+F]F[-F]F в = 7г/7.

То есть кодовое слово задается выражением: F[+F]F[-F]F[+F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F[-F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F.

Продолжая в том же ключе, мы можем пойти дальше и использовать все множество ССИФ, показанное на рис. 4.10, в качестве множества сгущения для новой ССИФ. Добавим к тривиальному отображению сжимающее отображение, которое все уменьшает и сдвигает вправо и вверх, например такое:

T2(z) = (0,7960 - 0,0799г> + (-0,2500 + 0,7500г).

Результат показан на рис. 4.11. Полученное изображение можно рассматривать как дважды итерированную ССИФ, подобно двойному интегралу в математическом анализе.

Эта дважды итерированная ССИФ, очевидно, не эквивалентна ССИФ с тремя сжимающими отображениями Тс, Т\ и Гг. Результат одновременного применения всех трех отображений гораздо сложнее, как видно из рис. 4.12. Усложнение здесь происходит по той причине, что появляются всевозможные смешанные произведения Т(Т^ и Т£Т(, а так как отображения Т\ и Тг не коммутируют (то есть Т\Т2 ф Т2Т1), то смешанные члены разного порядка дают разный

пр^льтат.

4-3 СИФ со сгущением • 115

С помощью алгоритма ССИФ можно строить огромное количество разнообразнейших фрактальных конфигураций. Фигура «дерево» представляет собой удачный с точки зрения эстетического восприятия пример такого построения. Здесь множество сгущения С (рис. 4.13) играет роль ствола дерева с двумя главными ветвями.

Мы выбрали аффинные преобразования Т\, Гг, Тз и Т± таким образом, чтобы они уменьшали (и искажали) множество С, поворачивали его, а затем сдвигали получившийся элемент к концу одной из ветвей. На каждой итерации все ветви выпускают новые ветки, очень похожие на оригинал С, за исключением размера и ориентации (рис. 4.14).

Для компьютерной реализации описанного алгоритма применяется рекурсия. Главная программа ДЕРЕВО (которую мы не приводим) инициализирует графический режим, определяет ивыводит на экран множество сгущения С ивызывает рекурсивную подпрограмму ВЕТВЬ (алгоритм 4.3.3). Вэтой подпрограмме на каждом уровне рекурсии вычисляются новые вершины, которые соединяются отрезками с вершинами предыдущего уровня.

Множество С хранится в виде массива вершин:

Добавление ветвей осуществляют следующие четыре аффинных преобразования (рис. 4.13):

Вследующем алгоритме команда «построить V» (или «построить

ит. п.) означает такую последовательность действий:

соединить отрезком V(l) и V(2); соединить отрезком V{2) и V(3); соединить отрезком V{2) и

116 • Глава 4 I Системы итерированных функций

fj

\

\

Рис. 4.10. ССИФ

Рис. 4.11. Итерирование предыдущей фигуры с помощью

4-3 СИФ со сгущением • 117

Рис. 4.12. Та же ССИФ, с использованием Тс, 7ь T2

(а) множество сгущения С (б) первая итерация

Рис. 4.13. Множество сгущения С и первая итерация

120 • Глава 4 I Системы итерированных функций

ОО ОО О

О

о о

°ОО°О

Рис. 4.15. Спираль для упр. 2

Рис. 4.16. V-множество для упр. 3