Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

8.3 Множество Мандельброта • 241

мерками для этого шага (рис. 8.17). В результате получаем, что J(fc) имеет бесконечно много компонент. Более того, верно и то, что каждая из этих компонент есть на самом деле одна-единственная точка, что и делает J(fc) вполне несвязным. Для доказательства этого надо провести еще дополнительный анализ. Наиболее просто это делается в случае достаточно большого с. Доказательство для с > (5 + 2>/б)/4 « 2,475 можно найти в [14], а для с > 22/9 и 2,444 - в [И].

Кроме того, в этом случае J(fc) является еще и совершенным множеством, то есть оно замкнуто и не имеет изолированных точек. Таким образом, J(fc) обладает всеми требуемыми свойствами, чтобы считать его пылью Кантора, а именно, оно компактно, вполне несвязно и совершенно (когда с ^ М). •

Роль критической орбиты. Возможно, что значимость выбора орбиты {/с (0)} в определении множества Мандельброта ускользнула от внимания читателя. Точка 2 = 0 — это единственное значение

восьмерки появляются регулярным образом, как это требуется в доказательстве части 2 теоремы 8.3.4.

Разложение в ряд Тейлора функции fc{z) в окрестности любой точки 2о имеет вид:

Mz) = fe(zo) + f'e(zo)(z - z0) + \&'(zo)(z - z0)2.

Если f'c(zo) = 0, то fc(z) является двулистным отображением в малой окрестности ZQ (за исключением самой точки ZQ). ЭТОТ факт объясняет поведение, описанное в части 2 леммы 8.3.1, а именно, что /с"1 (Г) имеет вид восьмерки, если с € Г. Если же f'c{zo) ф О, то /с(г) является взаимно однозначным отображением в малой окрестности 2о, и мы не получаем никаких восьмерок.

Периоды и обрамление. Доминирующей фигурой в множестве Мандельброта является большая кардиоида. Внутренность этой кардиоиды соответствует точкам с, для которых множество Жюлиа для fc(z) имеет притягивающую неподвижную точку. Это объясняется следующим образом. Если z есть притягивающая неподвижная

242 • Глава 8 / Комплексная динамика

i.

1.5

Рис. 8.17. Сжатие на вполне несвязном множестве Жюлиа

1-ДС01 = \2z\ < 1.

Граница таких точек удовлетворяет \2z\= 1 или

Уравнение 22 + с = z принимает вид

которое описывает большую кардиоиду, когда в изменяется в пределах [0,2тг] (см. упр. 1 в конце параграфа). Таким образом, границей притягивающих неподвижных точек является кардиоида, и притягивающие неподвижные точки лежат внутри нее. Заметим, что по оси х

244 • Глава 8 / Комплексная динамика

1.5г

-0.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5

Рис. 8.18. Периоды обрамлений

Таким образом, значения с, для которых существуют периодические притягивающие точки периода 2 в множестве Жюлиа, лежат внутри круга \с+ 1| = 1/4. Отметим, что по оси х этот круг расположен от —5/4 до —3/4, что соответствует той части орбитной диаграммы, где она имеет две ветви.

На рис. 8.18 изображены некоторые участки (иногда называемые обрамлением)множества Мандельброта, соответствующие существованию притягивающих периодических точек различных периодов. Орбитная диаграмма (рис. 6.9) говорит о том, что происходит на вещественной оси множества Мандельброта. Каждая бифуркация соответствует новому обрамлению, которое пересекает ось х, и период в этом случае соответствует числу ветвей орбитной диаграммы.

Установить связь периодов с обрамлениями для периодов, больших чем 2, аналитическими методами затруднительно, если вообще

8.4 Множество Манделъброта • 245

возможно. Задача экспериментального определения периодов для притягивающих периодических точек упрощается с помощью следующего результата [11, п. 3.4]. Именно, если ZQ есть притягивающая периодическая точка для полинома, то существует критическое значение, которое лежит в области притяжения ZQ. В случае fc(z) — z2+c этим критическим значением является точка 0. Для данного обрамления мы обычно можем определить периоды, хотя иногда это и не совсем просто. Для этого мы начинаем с тщательного построения изображения множества Мандельброта и находим аппроксимацию центра (значение с) определенного обрамления. Затем мы вычисляем определенный участок орбиты {/с (0)} и пытаемся определить по ее асимптотическому поведению значение периода. Для значений с, близких к границе, анализ вычислений становится затруднительным (см. ниже упр. 3).

Упражнения 8.3.

1. Покажите, что уравнение

описывает кардиоиду при изменении в в пределах [0,2тг].

2.Покажите, что множество Мандельброта симметрично относительно вещественной оси. Для этого покажите, что отображение

z2 + с топологически сопряжено по отношению к z2 + с, где с и с — комплексно сопряженные числа. Затем исследуйте орбиты точки 0 при этих двух отображениях.

3. (Компьютерный эксперимент.) Начните с тщательного построения изображения множества Мандельброта и приближенно определите центр (значение с) какого-либо элемента обрамления, например, одной из окружностей, касающихся главной кардиоиды. Затем вычислите определенный участок орбиты {/с (0)} и постарайтесь по ее асимптотическому поведению определить период. Проделайте это для нескольких окружностей, отмеченных на рис. 8.18.

4.(Компьютерный эксперимент.) Используйте компьютер для получения изображения множества Мандельброта для f(z) — z3 +c. Покажите, что если \с\ > 2, то орбита z стремится к оо.

246 • Глава 8 / Комплексная динамика

8.4. Хаос и множества Жюлиа

Квадратичная функция fc{z) = z2 + с проявляет хаотическое по-

окружности S1, которая, как было отмечено в п. 8.1, является множеством Жюлиа для z2. Фактически, в главе 6 был рассмотрен и ряд других примеров, подобных хаотическому поведению fc(z) на J(/c ).

Одним из таких примеров является хаотическое поведение2 вещественной функции х2 — 2 на отрезке [—2,2]. Как следует изприводимой ниже леммы, множество Жюлиа комплексной функции z2 — 2 есть также отрезок [-2,2], а значит z2 — 2 хаотична на J(/_2).

Лемма 8.4.2. Отрезок [—2,2] является множеством Жюлиа функции г2 — 2.

Доказательство. В п. 6.2 было отмечено, что если fc(x) — х2 —2, то график /с (х) пересекает прямую у = х на отрезке [—2,2] точно 2" раз (см. рис. 6.8) и точки пересечения различны. Таким образом, /с (х) имеет 2п различных периодических точек на [—2,2]. Комплексный полином fc(z) — z степени 2П имеет самое большее 2П нулей в С. Таким образом, мы нашли все периодические точки, и онилежат на отрезке [—2,2]. Более того, они образуют плотное подмножество отрезка [—2,2] (их замыкание есть [—2,2]). Наклоны функций f(n\x) в точках пересечения с прямой у =• х, каквидно из графика, больше 1 по абсолютной величине. Следовательно, эти периодические точки отталкивающие. По определению 2 теоремы 8.2.2, множество J(/_2) суть замыкание отталкивающих периодических точек, то есть отрезок [—2,2]. •

В теореме 7.2.6 было доказано, что для вещественных х и вещественных с, при с < с*дляопределенного значения с* < —2, функция х2 + с хаотична на некотором множестве захвата А. А является множеством точек хо, для которых итерированные величины хп = х\_х + с остаются ограниченными при п —* оо. Подробности см. в упр. 1 в конце параграфа.

2 Хаотическое поведение при с = —2 было впервые получено фон Нейманоми Уламом при вычислениях наодной изпервых ЭВМ в 1947году[64].

8.5 Хаос и множества Жюлиа • 247

Основная теорема о хаотическом поведении на множествах Жюлиа немедленно следует из теоремы 8.2.2.

Теорема 8.4.5. Квадратичная функция fc{z) = z2 + с хаотична на своем множестве Жюлиа J(fc) при всех с £ С.

Доказательство. Доказательство основывается на установлении условий периодичности и транзитивности, описанных в п. 6.5. Существенная зависимость от начальных условий при этом непосредственно следует из теоремы 7.1.1.

Периодичность. Условие периодичности, заключающееся в том, что периодические точки плотны в J(fc), следует из определения 2 теоремы 8.2.2.

Транзитивность. Условие транзитивности состоит в том, что для любой пары открытых множеств U и V, которые пересекаются с

По определению 3, J(fc) является замыканием множества

В частности, это объединение пересекается с С/, и поэтому для некоторого п > 1 выполняется ( Z ^ ) " 1 ^ ) l~ U Ф $• Выберем любую точку и в этом пересечении. Тогда fc (и) = v, и следовательно,

Упражнения 8.4.

1.Используя ту же аргументацию, как при доказательстве теоремы 8.4.2, убедитесь, что множество захвата Л для вещественного квадратичного полинома х2 + с, с < с*, является множеством Жюлиа для комплексного квадратичного полинома z2 + с (см. теорему 7.2.6).

2.Рассматривая доказательство части 2 теоремы 8.3.4, покажите,

что если с ^ М, то отображение fc(z) = z2 + с, действующее на множестве Жюлиа J(/c ), топологически сопряжено с обратным сдвигом В на символьном пространстве S двух символов. Следовательно, оно хаотично. Чтобы упростить ситуацию, предположим, что J(fc) — то же самое, что и заполняющее множество Жюлиа )C(fc), и что точки в J(fc) есть пересечения внутренних областей восьмерок.

8.5 ПроблемаКэли • 249

Уравнение (8.5) является результатом итерирования функции

f(z)

Нули f(z) являются неподвижными точками g(z), и так как

„„,_,_ /wrw

они сверхпритягивающие. В случае, когда f(z) является полиномом, например, f(z) = z3 —1, функция Ньютона g(z) есть рациональная функция от 2, то есть равна частному полиномов. В п. 8.1 мы определили множество Жюлиа J{g) для полинома g{z) как границу множества точек, которые стремятся к оо при итерировании. Множество Жюлиа для рациональной функции от z определяется иначе, чем для полиномов. Один из способов — считать множеством Жюлиа замыкание множества отталкивающих точек. Как мы уже видели в теореме 8.2.2, эти определения совпадают в случае полиномов. Однако в случае рациональных функций они различаются.

Как и в случае вещественных итераций, если начальная точка ZQ находится достаточно близко к корню wt, то ньютоновские итерации сходятся к этому корню. Таким образом, каждая область А(гиг) содержит окрестность wt. Но какую часть комплексной плоскости занимает A(wt) и какова ее геометрия? Ответ на этот вопрос крайне нетривиален.

Перед исследованием проблемы Кэли для кубических корней рассмотрим соответствующую задачу для квадратных корней. В этом случае f(z) = z2 —1 и ньютоновские итерации имеют вид:

Если ZQлежит в правой полуплоскости, то zn —*• +1 при п —• оо, а если го лежит в левой полуплоскости, то zn —• — 1 при п —* оо (упр. 1 в конце параграфа). Таким образом, за исключением начальных точек ZQ,которые равноудалены от двух корней, zn сходится к корню, ближайшему к ZQ. ЕСЛИ ZQ лежит на мнимой оси, то в этом случае итерации не сходятся (см. упр. 2 в конце параграфа).

По аналогии со случаем z2 — 1 можно предположить, что в случае z3 —1 итерированные значения zn, вычисленные по формуле (8.5),

250 Глава 8 j Комплексная динамика

A(w2)

A(wl)

A(w3)

Рис. 8.19. Является ли это решением задачи Кэли?

сходятся к кубическому корню, ближайшему к zo, если такой ближайший корень существует. Таким образом, ответ на вопрос Кэли предположительно выглядит так, как показано на рис. 8.19. Как ни странно, это предположение оказывается неверным.

Теорема 8.5.6. Пусть g(z) = z — (z3 — l)/(3z2) — функция Ньютона для z3 —1. Тогдамножество Жюлиа для g имеет вид:

то есть J(g) является границей каоюдой из областей притяжения для трех притягивающих неподвижных точек 1, —1 ± \/3/2.

Доказательство. См. [35, с. 96]. •