Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist
.pdf8.3 Орбиты в множествах Жюлиа • 231
•f
Рис. 8.9. Множество Жюлиа для z2 — 1,2г
сс |
э |
|
э |
Сс t
J>
Рис. 8.10. Множество Жюлиа для z2 + 0,50
~>
Рис. 8.11. Множество Жюлиа для г2 + 0,31 + 0,04г
232 • Глава 8 / Комплексная динамика
8.3. Множество Мандельброта
Мы ужеубедились в том, чтомножества Жюлиа функции z2 + с обладают большим разнообразием. Действительно, длякаждого нового значения с мы получаем впечатляющие изображения. Тем не менее, насамом деле существуют всего два типа множеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции fc(z) — z2 + слибо связно,либо вполне несвязно. Конечно,они могут выглядеть совершенно различным образом, даже принадлежа к одному итому жетипу. Некоторые связные множества Жюлиа выглядят какпростые замкнутые кривые, которые являются фракталами, как этоимеет место в случае О < \с\< 1/4. Существуют также связные множества Жюлиа, которые неявляются простыми замкнутыми кривыми, как, например,в случае с = —1(рис. 8.1). С другой стороны, все вполне несвязные множества Жюлиа обладают темсвойством, чтоони представляют собой «канторову пыль». Этомынаблюдаем нарис. 8.9, 8.10 и 8.11.
Множество Мандельброта (см.рис. 8.12, 8.13 и рис. 1 вклейки) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции z2 + с. Каждая точка в множестве Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа J(fc) связно. Каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение с, для которого J(/c ) вполне несвязно. В определении множества Мандельброта об этом ничего не говорится, но основная теорема настоящего параграфа говорит именно обэтом.
Множество Мандельброта Л4 для полинома fc(z) = z2 + с определяется как множество всех с € С, для которых орбита точки 0 ограничена, то есть
М = {сеС: {/с(п)(О)}£1о ограничена}.
Равносильное определение записывается как
М = {с 6 С : /с(п)(0) /» оопри п -> оо}.
Равносильность этих определений следует изтого, что
,.Z2 + C
lim |
= оо, |
а значит, существует такое R > 0,что из \z\> R следует |/с(2)| >2\z\. Если для некоторого по имеет место неравенство |/с (0)| > R, то
8 3 Множество Мандельброта • 233
I
Рис. 8.12. Множество Мандельброта для z2 +с
для всех п > щ:
|/W(0)| > 2"-"°Я,
то есть /с (0) —у оо.
Выбор точки 0 в качестве начальной станет ясен из доказательства основной теоремы. Это связано с тем обстоятельством, что точка 0 — единственная критическая точка /с, то есть единственная точка, в которой производная обращается в нуль. Определение множества Мандельброта Л4, приведенное выше, является рабочим, то есть оно может быть прямо использовано для написания программы, определяющей принадлежность точки множеству Мандельброта. Задача проверки орбит на ограниченность упрощается при использовании следующей теоремы.
Теорема 8.3.3. Если \с\ > 2 и \z\ > \c\,то орбита z устремляется к оо В частности, из этого следует, что точка с не принадлежит М.
234 • Глава 8 j Комплекснаядинамика
Рис. 8.13. Окно множества Мандельброта около точки с = —1,75 + Ог
Доказательство. Положим \с\ = 2 + 6, где 6 > 0. Тогда
\fc(z)\ = |22 + c | > | z 2 M c |
=№1-1)
Вчастности, |/с(-г)| > \с\ и при итерировании получаем:
\f(n\z)\ > \z\(l+6)n.
Вследствие этого, fc (z) —* оо при п —* оо. Этим доказано первое утверждение. Относительно второго утверждения: так как орбита точки с стремится к бесконечности и /с(0) = с, то орбита нуля также стремится к бесконечности. •
Объединяя полученный результат с теоремой 8.1.1, получаем, что проверять нужно только точки \с\ < 2. Причем в случае \с\ < 2, если орбита достигает состояния, когда ее величина превосходит 2, то это означает, что она стремится к бесконечности, и следовательно, проверяемая точка не принадлежит АЛ. Точка с = —2 — единственная точка окружности \с\ = 2, которая принадлежит множеству Мандельброта.
Несложно написать программу для построения множества Мандельброта. Единственная проблема, которая может возникнуть при использовании этой программы на малых ЭВМ — большой объем вычислений. Для того чтобы получить приемлемое изображение
8.3 Множество Манделъброта • 235
множества Л4, желательно отображать по меньшей мере 256 х 256 пикселов. Более удачные визуализации получаются при использовании окна 400 х 400 пикселов и более. На рис. 8.12 приведено изображение множества Мандельброта размером 576 х 576 пикселов. Итеративные вычисления для определения того, является ли орбита захваченной или она стремится к бесконечности, должны выполняться для каждого пиксела, то есть для каждой пары (х,у), принадлежащей решетке точек, которые следует проверить. Приводимая ниже программа позволяет организовать получение результатов по столбцам (все значения у при одном фиксированном х). Это позволяет избежать хранения огромной матрицы, представляющей выход полностью, и обычно требует значительно меньше времени, чем получение результата для каждой орбиты, по мере того как вычисления для нее завершаются. Применяемый тест на ограниченность орбиты следующий: \fc {z)\2 < 4 для п = 1,2, ...,20. Лучшие результаты можно получить за счет значительного увеличения времени вычислений, то есть за счет увеличения п с 20 до 50, 100 и более.
Алгоритм 8.3.3. (МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА)
Назначение: строит множество Мандельброта для fc(z) = z1 + с.
Вход:
а, 6 (координаты центра окна, например (0,0)) s (размер окна s x s )
р (число пикселов по каждой координате)
iter (число итераций при проверке орбиты на ограниченность)
Выход:
графический экран множества Мандельброта.
Инициализация:
графический экран для окна [а—s/2,a + s/2] х [Ь —s/2, Ь+ s/2].
Шаги:
for т = 1 to p
с\ = а —s/2 + ms/p for п = 1 to р
С2 — Ь — s/2 + ns/p
236 • Глава 8 / Комплексная динамика
iter = 1
while iter < 20 iter = iter + 1 x\ = x2 - y2 + ci
2/1 = 2xj/ + c2
X = Xi
2 / = 2/1
z = x2 + y2
if г > 4, выйти из цикла, end if end while
if z < 4 plot(ci,c2)
end if end for
end for
Для доказательстваосновной теоремыо множестве Мандельброта воспользуемсяследующей леммой.
Лемма 8.3.1. Пусть Г — гладкая, простая замкнутая кривая на плоскости, и пусть jc{z) —z2 + с. Обозначим через Г_1 прообраз Г:
Относительно Г_1 можно утверждать следующее.
1. Если точка с находится строго внутри Г, то Г_1 также является гладкой,простой замкнутой кривой. Внутренность Г_1 взаимно однозначно соответствует внутренности Г (рис. 8.Ц).
2. Если точка с лежит на кривой Г, то в этом случае Г_1 имеет вид гладкой восьмерки. Каждая из внутренних областей Г_1 (лепестки восьмерки) взаимно однозначно соответствует внутренней области Г (рис. 8.15).
Доказательство. Идея доказательства проста, но детали несколько техничны. Проведем доказательство для случая, когда Г — окружность.
1. Пусть с содержится строго внутри Г, как показано на рис. 8.14. Рассмотрим любую точку z € Г. Обозначим через t аргументкомплексного числа z — с, то есть z — c = \z— c\ exp(it). Квадратные корни
8.3 Множество Манделъброта • 237
(arg(z-c)=t)
Рис. 8.14. fc 1(Г) для с внутри Г
из z — с равны w = ±y/\z —c\ exp(it/2). По мере того как z движется по Г, точки +w и —w перемещаются по верхней и нижней половине Г_1, соответственно. Лучи, направленные из 0 в +w и —w, заполняют область внутри Г_1, и соответствие между внутренностью Г и Г_1 является взаимно однозначным.
2. Если точка с принадлежит контуру Г, как изображено на рис. 8.15, то когда z движется по Г, точка +w движется по замкнутой петле — границе одного из лепестков восьмерки. Лучи, направленные из 0 в +w, заполняют область внутри этого лепестка, и соответствие между внутренностью Г и этим лепестком является взаимно однозначным. Второй лепесток, не пересекающийся с первым, за исключением точки 0, прочерчивается точкой —w, и его внутренность также находится во взаимно однозначном соответствии с внутренностью Г. •
238 • Глава 8 / Комплексная динамика
(arg(z-c)=t)
Рис. 8.15. /с""г(Г) Для с на Г
Теорема 8.3.4. Пусть М — множество Мандельброта.
1.Для каждой точки с 6 М соответствующее ей множество Жюлиа J(fc) связно.
2.Для каждой точки с £ М соответствующеемножество Жю-
лиа J(fc) вполне несвязно и является на самом делеканторовым множеством.
Доказательство.
1. Предположим, что последовательность {/с (0)} ограничена. В первую очередь, мы покажем, что заполняющее множество Жюлиа IC(fc) есть пересечение вложенной последовательности замкнутых областей, то есть множеств, которые являются объединениями простых замкнутых кривых и областей, ограниченных ими. Пусть Го
8.3 Множество Мандельброта • 239
— окружность достаточно большого радиуса, содержащая все точки /с (0), причем точки /^(Го) лежат внутри Го, а точки вне Го при итерировании стремятся к оо.
Точка с находится внутри Го, так как с = /с(0). Пусть Г_1 = /с~1(Го). По лемме 8.3.1, /с отображает внутреннюю область Г_1 во внутреннюю область Го- В частности, так как /с(с) = /^(0) находится внутри Го, то с лежит внутри Г_1, равно как и внутри Го-
Продолжим итерацию этого процесса. Пусть Г/п + 1 ) = /С"1(Г_П), п = 1,2,... На каждом шаге точка с попадает внутрь Г_п, так как fc (0) находится внутри Го, а это означает, что /с (0) находится внутри Г_1 и так далее до тех пор, пока окончательно с = /с(0) не попадет во внутреннюю область, ограниченную Г_п. Это позволяет применять лемму на каждом шаге, что и обеспечивает возможность итерирования (рис. 8.16).
Положим К-п = Г_п U(внутренность Г_п) и К = r\%LQK-n. По построению, каждая точка вне А"_п при итерировании стремится к оо. Из этого следует, что область притяжения А(оо) определяется как
Л(оо) = С\К.
Таким образом, заполняющее множество Жюлиа fC(fc) есть множество К. Множество Жюлиа J(fc) является границей следовательно, границей К.
Связность K{fc) следует из топологических соображений. Рассмотрим вложенную последовательность компактных, связных множеств, чьи дополнения связны. Их пересечение обладает теми же тремя свойствами. Более того, граница этого пересечения связна. Так как последовательность множеств К-п обладает вышеуказанными свойствами, то множества JC(fc) и J(fc) связны.
2. Предположим, что последовательность {/с (0)} не ограничена. Мы знаем, что в этом случае
ton /c ( n ) (0) =оо.
п—>оо
Пусть Го — окружность достаточно большого радиуса, причем:
а) Г_1 = /(Г1(Го) лежит внутри Го; б) все точки вне Го итерируются к оо; в) существует щ такое, что:
240 • Глава 8 / Комплексная динамика
-0.5
|
-2 -1.5 |
-1 -0.5 0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
Рис. 8.16. Сжатие на связном множестве Жюлиа |
|
|
||||
/ |
( ) |
() |
|
|
|
|
fc |
(с) лежит внутри Го при п < щ; |
|
|
|
|
|
/с |
(с) лежит вне Го при п > щ- |
|
|
|
|
|
Начнем с того же, что и при доказательстве части 1 теоремы,
предположив, что Г_(п+1) = /(Г1(Г_П). Эта процедура работает до тех пор, пока мы не достигаем п = щ и не сталкиваемся с точкой с на
кривой Г_(по_1), а не внутри Г_(по_!). В этом месте мы используем вторую часть леммы 8.3.1, где говорится, что Г_по имеет вид восьмерки, а множество Жюлиа J(/c ) содержится в объединении двух внутренних областей. Так как каждая из этих областей отображается на полную внутренность Г_(По_1), каждая должна содержать непустое подмножество J(fc)- В результате мы приходим к выводу, что множество J(/c ) должно быть несвязным.
После прохождения по, множества Г_п представляют собой объединения восьмерок. Каждая восьмерка порождает еще две восьмерки на следующем шаге. На каждом шаге J(/c ) окружено вось-